148 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Pour x ∈ R, considérons : f (x) =
+∞
0
e
−t
2 cos (2t x) dt .
Étudiez l'existence et la dérivabilité de f, puis calculez f (x) .
S o l u t i o n
• La fonction g définie par :
g(x,t) = e
−t
2 cos (2t x)
est continue sur R × [0,+∞[. On a la majoration :
∀x ∈ R ∀t ∈ [0,+∞[
|g(x,t)| e
−t
2
et la fonction définie par h 1 (t) = e
−t
2 est continue et sommable sur [0,+∞[.
Par conséquent, f existe et est continue sur R.
• On a
∂g
∂ x
(x,t) = −2te
−t
2 sin (2t x) et
∀x ∈ R ∀t ∈ [0,+∞[
∂g
∂ x
(x,t)
2te
−t
2 .
La fonction définie par h 2 (t) = 2te
−t
2 est continue et sommable sur [0,+∞[.
Par conséquent, f est dérivable et l'on a :
∀x ∈ R
f
(x) =
+∞
0
−2te
−t
2 sin (2t x) dt .
• En intégrant par parties, on obtient :
f
(x) =
e
−t
2 sin (2t x)
+∞
0
− 2x
+∞
0
e
−t
2 cos (2t x) dt ,
soit f
(x) = −2x f (x) .
Cette équation différentielle a pour solution générale f (x) = K e
−x
2 .
La constante K vaut : K = f (0) =
+∞
0
e
−t
2 dt
Si vous saviez que cette intégrale a pour valeur
√
π
2
vous concluriez :
f (x) =
√
π
2
e
−x 2 .