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F I C H E 2 8 – F o n c t i o n s d é f i n i e s p a r u n e i n t é g r a l e
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• Existence et continuité
S'il existe une fonction positive g définie, continue par morceaux et sommable sur
]a,+∞[, et qui vérifie :
∀x ∈ I
∀t ∈]a,+∞[
| f (x,t)| g(t)
alors F existe et est continue sur I .
• Dérivabilité
Supposons en plus des hypothèses précédentes que f admette une dérivée partielle
∂ f
∂ x
continue sur I ×]a,+∞[ et qu'il existe une fonction positive h définie, continue par morceaux et sommable sur ]a,+∞[, et qui vérifie :
∀x ∈ I
∀t ∈]a,+∞[
∂ f
∂ x
(x,t)
h(t)
alors F est de classe C
1 sur I et F
(x) =
+∞
a
∂ f
∂ x
(x,t) dt .
• Remarques
Le théorème précédent se généralise pour les dérivées successives de F.
Pour la continuité et les dérivabilités successives, il suffit d'établir les hypothèses
de domination du type | f (x,t)| g(t) sur tout segment de I .