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Fonctions définies
par une intégrale
I Cas de l’intégrale définie
• Existence et continuité
Soit f une fonction de deux variables, continue sur [a,b] × [c,d] ; alors la fonction
F définie par F(x) =
d
c
f (x,t) dt est continue sur [a,b] et
b
a
F(x) dx =
b
a
d
c
f (x,t) dt
dx =
d
c
b
a
f (x,t) dx
dt .
• Dérivabilité
Si f et
∂ f
∂ x
sont continues sur [a,b] × [c,d] , alors F est dérivable sur [a,b] et on a :
F
(x) =
d
c
∂ f
∂ x
(x,t) dt .
Si de plus, u et v sont des fonctions de classe C
1 de [a,b] dans [c,d], alors la fonction G définie par G(x) =
v(x)
u(x)
f (x,t) dt est dérivable et
G
(x) =
v(x)
u(x)
∂ f
∂ x
(x,t) dt + f
x,v(x)
v
(x) − f
x,u(x)
u
(x) .
II Cas de l'intégrale généralisée
Soit f une fonction de deux variables, continue sur I ×]a,+∞[. Lorsqu'elle existe,
on considère la fonction F définie sur I par
F(x) =
+∞
a
f (x,t) dt .
FICHE 28