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F I C H E 2 7 – O p t i m i s a t i o n d ’ u n e f o n c t i o n d e p l u s i e u r s v a r i a b l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
7
A p p l i c a t i o n
Étudiez les extrémums de la fonction f définie sur R
3 par :
f (x,y,z) =
x
2
2
+ xyz − z + y.
S o l u t i o n
Comme la restriction f (0,0,z) = −z peut tendre vers +∞ ou vers −∞ , il n'y a pas
d'extremum global sur R
3 .
Un extrémum relatif de f vérifie les conditions nécessaires :

      
      
∂ f
∂ x
= x + yz = 0
∂ f
∂ y
= xz + 1 = 0
∂ f
∂z
= xy − 1 = 0
⇐⇒

  
  
x = 1
y = 1
z = −1
Pour étudier la nature du point critique obtenu, nous pouvons étudier le signe de
f (x,y,z) − f (1,1,−1) lorsque x est voisin de 1, y voisin de 1 et z voisin de −1.
Mais il est plus intéressant de considérer la différence
f (h,k,l) = f (1 + h,1 + k,−1 + l) − f (1,1,−1) = kl + hl − hk + hkl +
h
2
2
avec h , k et l voisins de 0.
De cette façon, vous disposez d'une vérification : les termes de degré 1 en h, k et l doivent disparaître.
Il vous reste à transformer f si vous pensez qu'il s'agit d'un extrémum, ou fournir des
restrictions qui se contredisent si vous pensez que ce n'est pas un extrémum.
On f (h,0,h) =
3
2
h
2
> 0 pour h = / 0
et (h,h,0) = −
1
2
h
2
< 0 pour h = / 0.
Ces restrictions à deux courbes continues passant par l'origine, qui donnent des signes
différents, prouvent que le point (1,1,−1) n'est pas un extrémum.