158 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Soit
− →
V le champ de vecteurs défini sur l'ouvert = R
2
\ {(0,0)} par :
− →
V (x,y) = −
y
x 2 + y 2
− →
i +
x
x 2 + y 2
− →
j
1. Vérifiez que
− →
V satisfait la condition nécessaire pour être un champ de gradients.
2. Calculez la circulation de
− →
V le long du cercle C
+ de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct.
− →
V est-il un champ de gradients ?
S o l u t i o n
1. Les fonctions définies par P(x,y) = −
y
x 2 + y 2 et Q(x,y) =
x
x 2 + y 2 sont de
classe C
∞ dans = R
2
\ {(0,0)}. On a bien :
∂ P
∂ y
(x,y) =
y
2
− x
2
(x 2 + y 2 ) 2 =
∂ Q
∂ x
(x,y)
ce qui est la condition nécessaire pour que, dans le plan, le champ de vecteurs
− →
V soit
un champ de gradients.
2. On peut paramétrer C
+ par :
x = cos θ ; y = sin θ ; θ ∈ [0,2π] .
La circulation de
− →
V le long de C
+ est égale à l'intégrale curviligne :
C +
Pdx + Qdy =
2π
0
− sin θ(− sin θ) + cos θ( cos θ)
dθ = 2π .
On en déduit que le champ
− →
V n'est pas un champ de gradients, car sa circulation le
long de la courbe fermée C
+ n'est pas nulle.
Remarquons qu'il n'y a aucune contradiction avec le cours (heureusement !) puisque
n'est pas un ensemble simplement connexe.
En effet, un cercle entourant l'origine ne peut pas être ramené à un point en restant
dans .