142 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Optimisation
d'une fonction
de plusieurs variables
I Généralités
• Définitions
Soit f une fonction numérique définie sur D ⊂ R
n .
f admet un maximum (resp. minimum) global (ou absolu) en a ∈ D si
∀ x ∈ D
f(x) f (a) (resp. f (x) f (a)).
f admet un maximum (resp. minimum) local (ou relatif) en a ∈ D s'il existe une
boule de rayon non nul B
a,r
telle que :
∀x ∈ B
a,r
∩ D
f(x) f (a) (resp. f (x) f (a)).
• Existence d'un minimum et d'un maximum globaux
Si D est fermé (c'est-à-dire contient sa frontière) et borné et si f est continue, alors
f admet un maximum et un minimum globaux atteints au moins une fois.
II Extrémum local
• Condition nécessaire d'extrémum local
Si f présente un extrémum local en a = (x 0 ,y 0 ) et est de classe C
1 en ce point,
alors :
∀i
∂ f
∂ x i
(a) = 0 ou encore
− − →
grad f (a) =
− →
0 .
Un point vérifiant cette condition est appelé point stationnaire, ou point critique,
de f.
FICHE 27
Optimisation
d'une fonction
de plusieurs variables
I Généralités
• Définitions
Soit f une fonction numérique définie sur D ⊂ R
n .
f admet un maximum (resp. minimum) global (ou absolu) en a ∈ D si
∀ x ∈ D
f(x) f (a) (resp. f (x) f (a)).
f admet un maximum (resp. minimum) local (ou relatif) en a ∈ D s'il existe une
boule de rayon non nul B
a,r
telle que :
∀x ∈ B
a,r
∩ D
f(x) f (a) (resp. f (x) f (a)).
• Existence d'un minimum et d'un maximum globaux
Si D est fermé (c'est-à-dire contient sa frontière) et borné et si f est continue, alors
f admet un maximum et un minimum globaux atteints au moins une fois.
II Extrémum local
• Condition nécessaire d'extrémum local
Si f présente un extrémum local en a = (x 0 ,y 0 ) et est de classe C
1 en ce point,
alors :
∀i
∂ f
∂ x i
(a) = 0 ou encore
− − →
grad f (a) =
− →
0 .
Un point vérifiant cette condition est appelé point stationnaire, ou point critique,
de f.
FICHE 27