A p p l i c a t i o n
Montrez que l'équation :
x
3
+ 4xy + z
2
− 3yz
2
− 3 = 0
permet d'exprimer z en fonction de (x,y) au voisinage de (1,1,1) .
Calculez alors
∂z
∂ x
(1,1) et
∂z
∂ y
(1,1).
S o l u t i o n
Soit f la fonction définie sur R
3 par f (x,y,z) = x
3
+ 4xy + z
2
− 3yz
2
− 3 .
f possède des dérivées partielles continues :
∂ f
∂ x
(x,y,z) = 3x
2
+ 4y ;
∂ f
∂ y
(x,y,z) = 4x − 3z
2 ;
∂ f
∂z
(x,y,z) = 2z − 6yz
et au point (1,1,1) , on a :
∂ f
∂ x
(1,1,1) = 7 ;
∂ f
∂ y
(1,1,1) = 1 ;
∂ f
∂z
(1,1,1) = −4.
Puisque f (1,1,1) = 0 et
∂ f
∂z
(1,1,1) = / 0, le théorème des fonctions implicites nous
assure qu'on peut exprimer z en fonction de (x,y) dans un voisinage de (1,1,1) et que :
∂z
∂ x
(1,1) = −
∂ f
∂ x
(1,1,1)
∂ f
∂z
(1,1,1)
=
7
4
;
∂z
∂ y
(1,1) = −
∂ f
∂ y
(1,1,1)
∂ f
∂z
(1,1,1)
=
1
4
·
141
F I C H E 2 6 – C a l c u l d i f f é r e n t i e l
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
6