A p p l i c a t i o n
Soit U =]0,+∞[×R. Déterminez toutes les fonctions f, C
1 sur U , qui vérifient :
x
∂ f
∂ x
+ y
∂ f
∂ y
=
y
x
(1)
S o l u t i o n
L'introduction des coordonnées polaires :
x = ρ cos θ et y = ρ sin θ
nous permet de considérer la fonction g définie sur ]0,+∞[×] −
π
2
,
π
2
[ par :
g(ρ,θ) = f (x,y).
Pour déterminer l'équation vérifiée par les dérivées partielles de g, il est préférable de
calculer les dérivées partielles de f pour pouvoir substituer dans l'équation donnée.
∂ f
∂ x
=
∂g
∂ρ
∂ρ
∂ x
+
∂g
∂θ
∂θ
∂ x
= cos θ
∂g
∂ρ
−
sin θ
ρ
∂g
∂θ
∂ f
∂ y
=
∂g
∂ρ
∂ρ
∂ y
+
∂g
∂θ
∂θ
∂ y
= sin θ
∂g
∂ρ
+
cos θ
ρ
∂g
∂θ
.
La fonction f vérifie (1) si, et seulement si, la fonction g vérifie :
ρ cos θ
cos θ
∂g
∂ρ
−
sin θ
ρ
∂g
∂θ
+ ρ sin θ
sin θ
∂g
∂ρ
+
cos θ
ρ
∂g
∂θ
= tanθ ,
soit après simplication :
ρ
∂g
∂ρ
= tan θ
(2)
En intégrant l'équation (2) par rapport à ρ on a :
g(ρ,θ) = ln ρ × tan θ + ϕ(θ)
où ϕ est une fonction quelconque de classe C
1 .
En revenant à f, on obtient la solution générale de (1) :
f (x,y) =
y
2x
ln (x
2
+ y
2
) + ψ
y
x
où ψ est une fonction C
1 de R dans R.
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