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F I C H E 2 6 – C a l c u l d i f f é r e n t i e l
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Soit f la fonction définie sur R
2 par :



f (x,y) = xy
x
2
− y
2
x 2 + y 2
si (x,y) = / (0,0)
f (0,0) = 0
Montrez que f admet des dérivées partielles secondes en tout point.
Que pouvez-vous déduire du calcul de
∂
2 f
∂ x∂ y
(0,0) et de
∂
2 f
∂ y∂ x
(0,0) ?
S o l u t i o n
Si l'on considère un point M 0 distinct de l'origine, il existe une boule de centre M 0 dans
laquelle f est donnée seulement par la première expression. Comme il s'agit d'une composée de fonctions dérivables autant de fois que l'on veut, f admet des dérivées partielles secondes en M 0 .
Dans tout voisinage de (0,0), les deux expressions de f interviennent et on doit revenir aux définitions :
∂ f
∂ x
(0,0) = lim
x→0
f (x,0) − f (0,0)
x
= 0 ;
∂ f
∂ y
(0,0) = lim
y→0
f (0,y) − f (0,0)
y
= 0
On va avoir aussi besoin du calcul pour (x,y) = / (0,0) :
∂ f
∂ x
(x,y) = y
x
4
+ 4x
2 y
2
− y
4
(x 2 + y 2 ) 2
;
∂ f
∂ y
(x,y) = x
x
4
− 4x
2 y
2
− y
4
(x 2 + y 2 ) 2
On en déduit :
∂
2 f
∂ x∂ y
(0,0) = lim
x→0
∂ f
∂ y
(x,0) −
∂ f
∂ y
(0,0)
x
= lim
x→0
x − 0
x
= 1
∂
2 f
∂ y∂ x
(0,0) = lim
y→0
∂ f
∂ x
(0,y) −
∂ f
∂ x
(0,0)
y
= lim
y→0
−y − 0
y
= −1.
Comme
∂
2 f
∂ x∂ y
(0,0) = /
∂
2 f
∂ y∂ x
(0,0), le théorème de Schwarz permet de conclure que
les dérivées secondes
∂
2 f
∂ x∂ y
et
∂
2 f
∂ y∂ x
ne sont pas continues en (0,0).
Le théorème de Schwarz a été publié en 1873. L'exemple de l'exercice est dû à Peano
(1858-1932).