138 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Dans ce cas, on a A =
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 ) et B =
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) et on note :
d f =
∂ f
∂ x
dx +
∂ f
∂ y
dy
• Théorème
Si f est différentiable en (x 0 ,y 0 ), alors f admet des dérivées partielles en (x 0 ,y 0 ).
Si f est de classe C
1 au voisinage de (x 0 ,y 0 ), alors f est différentiable en (x 0 ,y 0 ).
Les deux réciproques sont fausses.
• Dérivée dans une direction
La dérivée de f en (x 0 ,y 0 ) dans la direction du vecteur unitaire − → u (α,β) est :
∂ f
∂ − → u
(x 0 ,y 0 ) = lim
t→0
f (x 0 + tα,y 0 + tβ) − f (x 0 ,y 0 )
t
·
Lorsque f est différentiable, cette limite existe et vaut :
∂ f
∂ − → u
(x 0 ,y 0 ) =
− − →
grad f (x 0 ,y 0 ) · − → u .
Cette dérivée directionnelle est maximum dans la direction du gradient et vaut
alors
− − →
grad f (x 0 ,y 0 ).
IV Fonctions implicites
Soit f une fonction de classe C
1 dans un ouvert D ⊂ R
2 et C k la courbe de niveau
f (x,y) = k.
À tout point (x 0 ,y 0 ) ∈ C k tel que
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) = / 0, on peut associer un intervalle
ouvert I contenant x 0 et une fonction ϕ de I dans R telle que :
∀x ∈ I
y = ϕ(x) ⇐⇒ f (x,y) = k .
De plus, ϕ est de classe C
1 sur I et sa dérivée est donnée par :
ϕ
(x) = −
∂ f
∂ x
x,ϕ(x)
∂ f
∂ y
x,ϕ(x)
·