∂g
∂v
(u,v) =
∂ f
∂ x
x(u,v),y(u,v)
×
∂ x
∂v
(u,v) +
∂ f
∂ y
x(u,v),y(u,v)
×
∂ y
∂v
(u,v) .
• Vecteur gradient
Le gradient de f en (x 0 ,y 0 ) est le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières. Il est orthogonal à la courbe de niveau de f passant par (x 0 ,y 0 ).
II Dérivées partielles d'ordre supérieur
• Définition
Si les fonctions dérivées partielles admettent elles-mêmes des dérivées partielles en
(x 0 ,y 0 ), ces dérivées sont appelées dérivées partielles secondes, ou dérivées partielles d'ordre 2, de f en (x 0 ,y 0 ). On les note :
∂
2 f
∂ x 2 (x 0 ,y 0 ) =
∂
∂ x
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 ) ;
∂
2 f
∂ y 2 (x 0 ,y 0 ) =
∂
∂ y
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) ;
∂
2 f
∂ x∂ y
(x 0 ,y 0 ) =
∂
∂ x
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) ;
∂
2 f
∂ y∂ x
(x 0 ,y 0 ) =
∂
∂ y
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 ).
Les dérivées partielles d'ordre supérieur à 2 se définissent par récurrence de façon
analogue.
• Fonction de classe C
k
Si les fonctions dérivées partielles d'ordre k sont continues sur D, on dit que f est
de classe C
k sur D.
Si les dérivées partielles de tous ordres existent, f est dite de classe C
∞ sur D.
• Théorème de Schwarz
Si au moins une des dérivées partielles
∂
2 f
∂ x∂ y
et
∂
2 f
∂ y∂ x
est continue en (x 0 ,y 0 ), alors :
∂
2 f
∂ x∂ y
(x 0 ,y 0 ) =
∂
2 f
∂ y∂ x
(x 0 ,y 0 ) .
III Différentielle
• Fonction différentiable
On dit que f est différentiable en (x 0 ,y 0 ) s'il existe des constantes réelles A et B
telles que :
f (x 0 + h,y 0 + k) − f (x 0 ,y 0 ) = Ah + Bk + +(h,k)ε(h,k)
avec lim
(h,k)→(0,0)
ε(h,k) = 0 .
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F I C H E 2 6 – C a l c u l d i f f é r e n t i e l
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