136 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Calcul différentiel
Pour simplifier, les énoncés seront donnés dans le cas de deux variables.
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur une partie ouverte D de R
2 .
I Dérivation d’ordre 1
• Dérivées partielles premières
Soit (x 0 ,y 0 ) ∈ D. Les dérivées partielles de f en (x 0 ,y 0 ) sont les dérivées des fonctions partielles :
∂ f
∂ x
(x 0 ,y 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h,y 0 ) − f (x 0 ,y 0 )
h
;
∂ f
∂ y
(x 0 ,y 0 ) = lim
k→0
f (x 0 ,y 0 + k) − f (x 0 ,y 0 )
k
·
• Fonction de classe C
1
Si les fonctions dérivées partielles
∂ f
∂ x
et
∂ f
∂ y
sont continues sur D, on dit que f est
de classe C
1 sur D.
• Dérivées des fonctions composées
– Cas R → R
2
→ R
Soit f une fonction de deux variables admettant des dérivées partielles premières.
Si x et y sont deux fonctions dérivables de R dans R, alors la fonction de R dans
R définie par g(t) = f
x(t),y(t)
est dérivable et :
g
(t) =
∂ f
∂ x
x(t),y(t)
× x
(t) +
∂ f
∂ y
x(t),y(t)
× y
(t)
– Cas R
2
→ R
2
→ R
Si f est une fonction des deux variables x et y , elles-mêmes fonctions des deux
variables u et v, on peut définir la fonction composée :
g(u,v) = f
x(u,v),y(u,v)
et écrire, lorsque les diverses dérivées partielles qui interviennent sont définies :
∂g
∂u
(u,v) =
∂ f
∂ x
x(u,v),y(u,v)
×
∂ x
∂u
(u,v) +
∂ f
∂ y
x(u,v),y(u,v)
×
∂ y
∂u
(u,v) ;
FICHE 26