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F I C H E 2 5 – F o n c t i o n s d e p l u s i e u r s v a r i a b l e s
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A p p l i c a t i o n
Soit f la fonction définie sur R
2 par :



f (x,y) =
x
2 y
x 4 − 2x 2 y + 3y 2
si (x,y) = / (0,0)
f (0,0) = 0
1. Montrez que la restriction de f à toute droite passant par l'origine est continue.
2. Montrez que la fonction f n'est pas continue à l'origine.
S o l u t i o n
Remarquons tout d'abord que la fonction est bien définie dans R
2 puisque
x
4
− 2x
2 y + 3y
2
= (x
2
− y)
2
+ 2y
2
ne s'annule qu'en (0,0).
1. La restriction de f aux droites x = 0 et y = 0 est la fonction nulle.
La restriction de f à la droite y = mx, avec m = / 0 , donne :
f (x,mx) =
mx
x 2 − 2mx + 3m 2
et tend vers 0 quand x tend vers 0.
Comme f (0,0) = 0 , la restriction de f à toute droite passant par l'origine est donc
continue.
2. Considérons la restriction de f à la parabole y = x
2 . On a :
f (x,x
2
) =
x
4
2x 4 =
1
2
.
Par conséquent, f (x,x
2
) ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0.
Pour prouver qu'une fonction de plusieurs variables n'admet pas de limite en M 0 , il suffit
d'expliciter une restriction à une courbe continue passant par M 0 qui n'admette pas de
limite, ou deux restrictions qui conduisent à des limites différentes.
Mais pour prouver l'existence d'une limite, il faut considérer le cas général.
Dans le cas de deux variables, lorsque (x, y) tend vers (0, 0) , il peut être intéressant de
passer en coordonnées polaires.