134 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Soit f la fonction de R
2 dans R définie par :



f (x,y) =
x tan y − y tan x
x 2 + y 2
si (x,y) = / (0,0)
f (0,0) = 0
Étudiez la continuité de f en (0,0).
S o l u t i o n
Pour étudier la limite de f (x,y) lorsque (x,y) tend vers (0,0), nous allons utiliser le
développement limité de la fonction tangente au voisinage de l'origine qui peut
s'écrire :
tan u = u +
u
3
3
+ u
3 ε(u) avec lim
u→0
ε(u) = 0 .
Avec cette notation, on a :
f (x,y) =
1
3
(xy
3
− yx
3
) + xy
3 ε(y) − yx
3 ε(x)
x 2 + y 2
.
Choisissons la norme euclidienne (x,y) =
x 2 + y 2 .
On a la majoration :
| f (x,y)|
1
x 2 + y 2
1
3
|xy|y
2
+
1
3
|xy|x
2
+ |xy||ε(y)|y
2
+ |yx||ε(x)|x
2
|xy|
1
3
+ |ε(y)| + |ε(x)|
(x,y)
2
1
3
+ |ε(y)| + |ε(x)|
.
On en déduit que lim
(x,y)→(0,0)
f (x,y) = 0 , ce qui prouve que f est continue en (0,0).
La majoration |f (x, y)| 2
|xy|
x 2 + y 2 ne permettait pas de conclure.