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F I C H E 2 5 – F o n c t i o n s d e p l u s i e u r s v a r i a b l e s
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On dit que f a pour limite l au point A si :
∀ ε > 0
∃r > 0
(X ∈ D et X − A < r) ⇒ | f (X) − l| < ε .
L'existence et la valeur éventuelle de la limite sont indépendantes de la norme
choisie dans R
2 . On dit que les normes de R
2 sont équivalentes.
Lorsqu'elle existe, la limite est unique.
• Continuité
Soit f une fonction de D ⊂ R
2 dans R. On dit que f est continue en A ∈ D si f possède en A une limite égale à f (A).
Si f est continue en chaque élément de D, on dit que f est continue sur D.
Remarques
Si f est définie en A et possède une limite en ce point, cette limite est
nécessairement égale à f (A), et f est alors continue en A.
Si f a pour limite l en A, la restriction de f à toute courbe continue passant par A admet la même limite l. La réciproque est fausse.
• Opérations algébriques
Comme pour les fonctions d'une variable, la somme, le produit, le quotient (lorsque
le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions continues sont continus.
III Composition
des fonctions continues
• Généralisation
Si f est une application de D ⊂ R
2 dans R
2 , la définition de la limite en un point
A se généralise en remplaçant | f (X) − l| par f (X) − l.
Il en est de même pour la continuité.
L'application f peut s'écrire :
X = (x 1 ,x 2 ) ∈ D −→ f (X) =
f 1 (x 1 ,x 2 ), f 2 (x 1 ,x 2 )
∈ R
2 .
Elle est continue si, et seulement si, les deux applications cooordonnées f 1 et f 2 , qui
vont de D dans R, sont continues.
• Continuité d'une fonction composée
Soit f une application de D ⊂ R
2 dans R
2 , continue en X 0 ∈ D,
g une application de f (D) ⊂ R
2 dans R, continue en f (X 0 ) ,
alors l'application g ◦ f , de D dans R, est continue en X 0 .