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Fonctions
de plusieurs
variables
Pour simplifier, les énoncés seront donnés dans le cas de deux variables.
I Définitions
• Fonction de deux variables
Une fonction f, définie sur une partie D de R
2 et à valeurs réelles, fait correspondre
à tout vecteur X de D un réel unique f (X).
X se note (x,y) ou (x 1 ,x 2 ).
L'ensemble des points de R
3 :
S =
x,y, f (x,y)
; (x,y) ∈ D
est la surface représentative de f ; c'est l'analogue de la courbe représentative d'une
fonction d'une variable.
• Fonctions partielles
Soit f une fonction de D ⊂ R
2 dans R et A = (a 1 ,a 2 ) un point intérieur de D. Les
fonctions :
x 1 → f (x 1 ,a 2 ) et x 2 → f (a 1 ,x 2 )
définies sur un intervalle ouvert contenant respectivement a 1 et a 2 , sont appelées
les fonctions partielles associées à f au point A.
• Lignes de niveau
Soit k ∈ R ; l'ensemble {(x,y) ∈ D ; f (x,y) = k} est la courbe de niveau k de
la fonction f.
II Limite et continuité
• Limite en un point
Soit D une partie de R
2 sans point isolé,
A un point adhérent à D,
et f une fonction à valeurs réelles dont le domaine de définition est D, privé
éventuellement de A.
FICHE 25