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F I C H E 2 7 – O p t i m i s a t i o n d ’ u n e f o n c t i o n d e p l u s i e u r s v a r i a b l e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Condition suffisante d'extrémum local (cas de 2 variables)
Soit f une fonction de classe C
2 sur un ouvert D ⊂ R
2 et (x 0 ,y 0 ) un point stationnaire ; posons :
R =
∂
2 f
∂ x 2 (x 0 ,y 0 ) ; S =
∂
2 f
∂ x∂ y
(x 0 ,y 0 ) ; T =
∂
2 f
∂ y 2 (x 0 ,y 0 ) .
On a alors :
– si S
2
− RT < 0 , f présente un extrémum relatif en (x 0 ,y 0 ) ; il s'agit d'un maximum si R < 0 et d'un minimum si R > 0 ;
– si S
2
− RT > 0 , f présente un point-selle (ou point-col) en (x 0 ,y 0 ) ; ce n'est pas
un extrémum ;
Le mot col vient de l'exemple de la fonction altitude et de la configuration (idéalisée) d'un
col de montagne : minimum de la ligne de crête, maximum de la route, sans être un extremum du paysage.
Le mot selle vient de l'exemple d'une selle de cheval.
– si S
2
− RT = 0 , on ne peut pas conclure à partir des dérivées secondes.
• Étude directe
Après avoir déterminé un point stationnaire (x 0 ,y 0 ), on peut aussi étudier directement le signe de la différence
D(h,k) = f (x 0 + h,y 0 + k) − f (x 0 ,y 0 ) .
Si cette différence est de signe constant pour h et k voisins de 0, il s'agit d'un
extrémum local (un maximum si D < 0, un minimum si D > 0). Sinon, il s'agit
d'un point-col.
Mieux, si le signe est constant pour h et k quelconques, alors l'extrémum est global.