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F I C H E 2 – G é n é r a l i t é s s u r l e s f o n c t i o n s n u m é r i q u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Sens de variation
– f est croissante sur un intervalle I si I ⊂ D f et
∀x 1 ∈ I ∀x 2 ∈ I
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) f (x 2 ) .
– f est décroissante sur I si I ⊂ D f et
∀x 1 ∈ I ∀x 2 ∈ I
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) f (x 2 ) .
– f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou décroissante sur I .
– Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement
décroissante, strictement monotone, sur I .
• Extrémum
– f admet un maximum (resp. minimum) global en x 0 ∈ D f si :
∀x ∈ D f
f (x) f (x 0 ) (resp. f (x) f (x 0 )).
– f admet un maximum (resp. minimum) local en x 0 ∈ D f , s'il existe un intervalle
ouvert I contenant x 0 , tel que :
∀x ∈ I ∩ D f f (x) f (x 0 ) (resp. f (x) f (x 0 )).
Un maximum ou un minimum local est dit extrémum local en x 0 .
Un extrémum est un maximum ou un minimum.
• Fonction lipschitzienne
f est une fonction lipschitzienne de rapport k > 0, ou k-lipschitzienne, si :
∀x ∈ D f ∀y ∈ D f
| f (x) − f (y)| k |x − y| .
Lorsque k < 1, f est dite contractante.
II Relation d'ordre
• Comparaison de fonctions
f et g étant deux fonctions, à valeurs réelles, définies sur le même ensemble de
définition D, on note f g (resp. f g) si :
∀x ∈ D f(x) g(x) (resp. f (x) g(x) ).
Si f 0, f est dite positive.
• Majorant, minorant
Si l'ensemble des images f (D) est majoré, ou minoré, ou borné, on dit que f est
majorée, ou minorée, ou bornée.
Si l'image f (A) de A ⊂ D admet une borne supérieure, ou une borne inférieure, on
parle de borne supérieure, de borne inférieure, de f sur A et on note :
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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• Sens de variation
– f est croissante sur un intervalle I si I ⊂ D f et
∀x 1 ∈ I ∀x 2 ∈ I
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) f (x 2 ) .
– f est décroissante sur I si I ⊂ D f et
∀x 1 ∈ I ∀x 2 ∈ I
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) f (x 2 ) .
– f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou décroissante sur I .
– Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement
décroissante, strictement monotone, sur I .
• Extrémum
– f admet un maximum (resp. minimum) global en x 0 ∈ D f si :
∀x ∈ D f
f (x) f (x 0 ) (resp. f (x) f (x 0 )).
– f admet un maximum (resp. minimum) local en x 0 ∈ D f , s'il existe un intervalle
ouvert I contenant x 0 , tel que :
∀x ∈ I ∩ D f f (x) f (x 0 ) (resp. f (x) f (x 0 )).
Un maximum ou un minimum local est dit extrémum local en x 0 .
Un extrémum est un maximum ou un minimum.
• Fonction lipschitzienne
f est une fonction lipschitzienne de rapport k > 0, ou k-lipschitzienne, si :
∀x ∈ D f ∀y ∈ D f
| f (x) − f (y)| k |x − y| .
Lorsque k < 1, f est dite contractante.
II Relation d'ordre
• Comparaison de fonctions
f et g étant deux fonctions, à valeurs réelles, définies sur le même ensemble de
définition D, on note f g (resp. f g) si :
∀x ∈ D f(x) g(x) (resp. f (x) g(x) ).
Si f 0, f est dite positive.
• Majorant, minorant
Si l'ensemble des images f (D) est majoré, ou minoré, ou borné, on dit que f est
majorée, ou minorée, ou bornée.
Si l'image f (A) de A ⊂ D admet une borne supérieure, ou une borne inférieure, on
parle de borne supérieure, de borne inférieure, de f sur A et on note :