A p p l i c a t i o n
1. Si n ∈ N, démontrez l'encadrement :
(3 +
√
5)
n
+ (3 −
√
5)
n
− 1 < (3 +
√
5)
n
< (3 +
√
5)
n
+ (3 −
√
5)
n .
2. Montrez alors que la partie entière de (3 +
√
5)
n est un entier impair.
S o l u t i o n
1. Comme 3 −
√
5 ≈ 0,76, on a, pour tout n ∈ N, 0 < (3 −
√
5)
n
< 1 .
Sans calculatrice, on aboutit à la même conclusion en remarquant que 4 < 5 < 9
entraîne 2 <
√
5 < 3 .
On en déduit l'encadrement de l'énoncé :
(3 +
√
5)
n
+ (3 −
√
5)
n
− 1 < (3 +
√
5)
n
< (3 +
√
5)
n
+ (3 −
√
5)
n .
2. Il reste à démontrer que (3 +
√
5)
n
+ (3 −
√
5)
n est un entier pair.
En appliquant deux fois la formule du binôme de Newton, on a :
(3 +
√
5)
n
+ (3 −
√
5)
n
=
n
k=0
n
k
3
n−k
(
√
5)
k
+ (−
√
5)
k
.
Dans cette somme, tous les termes correspondant à k impair sont nuls.
Et si k = 2 p, le terme correspondant s'écrit :
n
2 p
3
n−2 p
(2 × 5
p
).
C'est un nombre entier pair.
Par conséquent, (3 +
√
5)
n
+ (3 −
√
5)
n , somme de nombres entiers pairs, est un
entier pair, ce qui entraîne le résultat annoncé.
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F I C H E 1 – N o m b r e s r é e l s
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