A p p l i c a t i o n
Soit A et B deux parties bornées de R. Montrez que :
sup (A ∪ B) = max (sup A,sup B).
S o l u t i o n
Les parties A et B étant bornées, admettent des bornes supérieures.
x étant un élément quelconque de A ∪ B, il appartient à A ou à B.
Il vérifie donc x sup A ou x sup B, soit x max (sup A,sup B).
Cela prouve que l'ensemble A ∪ B est borné.
Il admet donc une borne supérieure telle que sup (A ∪ B) max (sup A,sup B).
Supposons, à titre d'exemple, que sup A sup B. Soit ε > 0 . Par définition de sup A,
il existe x ∈ A tel que
sup A − ε < x
c'est-à-dire qu'il existe x ∈ A ∪ B tel que
max (sup A,sup B) − ε < x
ce qui prouve que sup (A ∪ B) = max (sup A,sup B).
A p p l i c a t i o n
Soit A = {x ∈ Q + ; x
2
< 2} . Prouvez que A n'admet pas de borne supérieure dans
Q.
S o l u t i o n
Il faut montrer que l'ensemble des majorants rationnels de A n'a pas de plus petit élément.
Soit y un majorant rationnel de A. On a
√
2 < y. En effet,
√
2 n'est pas un rationnel,
et si on avait y <
√
2, comme Q est dense dans R, il existerait un rationnel entre y et
√
2, ce qui contredirait la définition de y.
D'autre part, l'intervalle ouvert ]
√
2,y[ contient au moins un rationnel z , qui est alors
un majorant rationnel de A tel que z < y.
A n'admet donc pas de borne supérieure dans Q.
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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s