A p p l i c a t i o n
Soit E la partie de R définie par : E =
n −
1
n
n +
1
n
; n ∈ N
∗
.
Montrez que E est infinie et bornée.
Déterminez, si elles existent, la borne supérieure et la borne inférieure de E.
Étudiez l'existence d'un plus petit élément, d'un plus grand élément, de E.
S o l u t i o n
Notons u n =
n −
1
n
n +
1
n
· Montrons que les éléments de E sont tous distincts, ce qui prouvera que E est infinie. Raisonnons par l'absurde en supposant deux éléments égaux
pour deux entiers strictement positifs n 0 et p 0 :
u n 0 = u p 0 ⇐⇒
n 0
p 0
=
p 0
n 0
⇐⇒ n 0 = p 0 .
On a u n 1 car n −
1
n
n +
1
n
et 0 u n car n −
1
n
0.
E étant minorée par 0 et majorée par 1, admet une borne inférieure m et une borne
supérieure M qui vérifient : m 0 et M 1.
Comme u 1 = 0, on a m = 0 et 0 est le plus petit élément de E.
Montrons que M = 1 en montrant que, pour tout ε > 0 , 1 − ε n'est pas un majorant
de E. Pour ceci, il faut trouver n ∈ N
∗ tel que :
1 − ε <
n −
1
n
n +
1
n
⇐⇒ (1 − ε)
n +
1
n
< n −
1
n
⇐⇒ (1 − ε) (n
2
+ 1) < n
2
− 1
⇐⇒ εn
2
> 2 − ε
.
Si ε > 1 , tous les éléments de E sont supérieurs à 1 − ε.
Si ε 1, il suffit de choisir n >
2 − ε
ε
pour montrer que 1 − ε n'est pas un majorant de E. On a donc bien M = 1.
Et comme 1 n'appartient pas à E car n −
1
n
= / n +
1
n
, la partie E n'a pas de plus grand
élément.
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F I C H E 1 – N o m b r e s r é e l s
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