viii
Contents
2.3 Exercise 1: The Surface Ekman Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Explanation of the Ekman-Layer Structure . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Additional Exercises for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 The Bottom Ekman Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Boundary-Layer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Exercise 2: The Bottom Ekman Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.3 Additional Exercises for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Basics of Nonhydrostatic Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Level Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 2D Vertical-Slice Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 The Arakawa C-Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Surface Gravity Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1 The Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 The Dispersion Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.3 Orbital Motions of Water Particles and Wave Pressure . . . . 26
3.4 Nonhydrostatic Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 Splitting Pressure into Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 Starting as Simple as Possible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.3 Finite-Difference Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.4 The S.O.R. Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.5 Boundary Conditions for Variable Bathymetry . . . . . . . . . . . 31
3.4.6 Stability Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Exercise 3: Short Surface Gravity Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.4 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.5 Implementation of Variable Bottom Topography . . . . . . . . . 34
3.5.6 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Inclusion of Variable Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.1 The Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.2 Discretisation of the Advection Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6.3 Stability Criterion for the Advection Equation . . . . . . . . . . . 38
3.6.4 Implementation of Density Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6.5 Required Modifications of the Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Exercise 4: Density-Driven Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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2.3 Exercise 1: The Surface Ekman Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Explanation of the Ekman-Layer Structure . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Additional Exercises for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 The Bottom Ekman Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Boundary-Layer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Exercise 2: The Bottom Ekman Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.3 Additional Exercises for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Basics of Nonhydrostatic Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Level Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 2D Vertical-Slice Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 The Arakawa C-Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Surface Gravity Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1 The Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 The Dispersion Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.3 Orbital Motions of Water Particles and Wave Pressure . . . . 26
3.4 Nonhydrostatic Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.1 Splitting Pressure into Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 Starting as Simple as Possible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.3 Finite-Difference Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.4 The S.O.R. Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.5 Boundary Conditions for Variable Bathymetry . . . . . . . . . . . 31
3.4.6 Stability Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Exercise 3: Short Surface Gravity Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.4 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.5 Implementation of Variable Bottom Topography . . . . . . . . . 34
3.5.6 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Inclusion of Variable Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.1 The Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.2 Discretisation of the Advection Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6.3 Stability Criterion for the Advection Equation . . . . . . . . . . . 38
3.6.4 Implementation of Density Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6.5 Required Modifications of the Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 Exercise 4: Density-Driven Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40