Contents
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3.7.3 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7.5 Can Reduced-Gravity Plumes Jump? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7.6 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7.7 The Rigid-Lid Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8 Internal Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8.1 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8.2 Normal Wave Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9 Exercise 5: Internal Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9.4 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10 Mechanical Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10.1 Kelvin-Helmholtz Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10.2 Instability of a Stratified Shear Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.11 Exercise 6: Kelvin-Helmholtz Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.11.3 Cyclic Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.11.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11.5 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.12 Lee Waves and the Froude Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.12.1 The Hydraulic Jump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.13 Exercise 7: Lee Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.13.1 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.13.2 Results: Continuous Density Stratification . . . . . . . . . . . . . . 55
3.13.3 Results: Two-Layer Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.13.4 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.14 Oceanic Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.14.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.14.2 Free Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.14.3 The Flux-Rayleigh Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.14.4 Aspect Ratio of Convection Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.14.5 Convective Mixed-Layer Deepening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.15 Exercise 8: Free Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.15.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.15.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.15.3 A Trick to Avoid Substantial Round-off Errors . . . . . . . . . . . 62
3.15.4 Inclusion of Momentum Diffusion and Bottom Friction . . . 62
3.15.5 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.15.6 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.16 Exercise 9: Convective Entrainment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.16.1 How It Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.16.2 Entrainment Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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3.7.3 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7.5 Can Reduced-Gravity Plumes Jump? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7.6 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7.7 The Rigid-Lid Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8 Internal Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8.1 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8.2 Normal Wave Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9 Exercise 5: Internal Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9.4 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10 Mechanical Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10.1 Kelvin-Helmholtz Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10.2 Instability of a Stratified Shear Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.11 Exercise 6: Kelvin-Helmholtz Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.11.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.11.3 Cyclic Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.11.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11.5 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.12 Lee Waves and the Froude Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.12.1 The Hydraulic Jump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.13 Exercise 7: Lee Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.13.1 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.13.2 Results: Continuous Density Stratification . . . . . . . . . . . . . . 55
3.13.3 Results: Two-Layer Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.13.4 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.14 Oceanic Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.14.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.14.2 Free Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.14.3 The Flux-Rayleigh Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.14.4 Aspect Ratio of Convection Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.14.5 Convective Mixed-Layer Deepening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.15 Exercise 8: Free Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.15.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.15.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.15.3 A Trick to Avoid Substantial Round-off Errors . . . . . . . . . . . 62
3.15.4 Inclusion of Momentum Diffusion and Bottom Friction . . . 62
3.15.5 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.15.6 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.16 Exercise 9: Convective Entrainment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.16.1 How It Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.16.2 Entrainment Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65