Contents
xi
4.2.3 The Shallow-Water Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.4
The Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.5
Analytical Wave Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.6
Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.7
Numerical Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.8 Finite-Difference Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.9 Stability Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.10 First-Order Shapiro Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.11 Land and Coastlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.12 Lateral Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.13 Modular FORTRAN Scripting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.14 Structure of the Following FORTRAN Codes . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Exercise 5: Long Waves in a Channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1
Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2
Instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.3
Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.4
Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Exercise 6: The Flooding Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1
Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.2 Redefinitio of Wet and Dry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.3 Enabling Flooding of Dry Grid Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.4 Flooding of Sloping Beaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.5
Ultimate Crash Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.6
Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.7
Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 The Multi-Layer Shallow-Water Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5.1
Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 Exercise 7: Long Waves in a Layered Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6.1
Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6.2
Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6.3
Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.4
Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.5 Phase Speed of Long Internal Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6.6 Natural Oscillations in Closed Bodies of Fluid . . . . . . . . . . . 86
4.6.7
Merian’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6.8 Co-oscillations in Bays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6.9 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 2D Shallow-Water Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 Long Waves in a Shallow Lake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1
The 2D Shallow-Water Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.2
Arakawa C-grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.3 Finite-Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.4
Inclusion of Land and Coastlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
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4.2.3 The Shallow-Water Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.4
The Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.5
Analytical Wave Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.6
Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.7
Numerical Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.8 Finite-Difference Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.9 Stability Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.10 First-Order Shapiro Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.11 Land and Coastlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.12 Lateral Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.13 Modular FORTRAN Scripting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.14 Structure of the Following FORTRAN Codes . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Exercise 5: Long Waves in a Channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1
Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2
Instructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.3
Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.4
Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Exercise 6: The Flooding Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1
Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.2 Redefinitio of Wet and Dry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.3 Enabling Flooding of Dry Grid Cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.4 Flooding of Sloping Beaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4.5
Ultimate Crash Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.6
Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.7
Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 The Multi-Layer Shallow-Water Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5.1
Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 Exercise 7: Long Waves in a Layered Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6.1
Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6.2
Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6.3
Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.4
Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.5 Phase Speed of Long Internal Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6.6 Natural Oscillations in Closed Bodies of Fluid . . . . . . . . . . . 86
4.6.7
Merian’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6.8 Co-oscillations in Bays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6.9 Additional Exercise for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 2D Shallow-Water Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 Long Waves in a Shallow Lake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1
The 2D Shallow-Water Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.2
Arakawa C-grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.3 Finite-Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.4
Inclusion of Land and Coastlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93