x
Contents
3.12.5 Motion in a Rotating Fluid as Seen in the Fixed Frame
of Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.12.6 Parcel Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.12.7 Numerical Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.12.8 Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.12.9 The Coriolis Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.13 The Coriolis Force on Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.13.1 The Local Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.13.2 The Coriolis Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.13.3 The f -Plane Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.13.4 The Beta-Plane Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.14 Exercise 4: The Coriolis Force in Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.14.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.14.2 First Attempt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.14.3 Improved Scheme 1: the Semi-Implicit Approach . . . . . . . . 53
3.14.4 Improved Scheme 2: The Local-Rotation Approach . . . . . . 55
3.14.5 Yes! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.14.6 Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.14.7 Inertial Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.14.8 Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.15 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.15.1 Laminar and Turbulent Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.15.2 The Reynolds Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.15.3 What Causes Turbulence? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.15.4 The Richardson Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.15.5 Turbulence Closure and Turbulent Diffusion . . . . . . . . . . . . . 59
3.15.6 Prandtl’s Mixing Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.15.7 Interpretation of the Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.16 The Navier–Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.16.1 Complete Set of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.16.2 Boundary Conditions for Oceanic Applications . . . . . . . . . . 61
3.17 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.17.1 The Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.17.2 Example of Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Long Waves in a Channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 More on Finite Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1
Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 Forward, Backward and Centred Differences . . . . . . . . . . . . 66
4.1.3 Scheme for the Second Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4 Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Long Surface Gravity Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Extraction of Individual Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2
Shallow-Water Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Contents
3.12.5 Motion in a Rotating Fluid as Seen in the Fixed Frame
of Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.12.6 Parcel Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.12.7 Numerical Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.12.8 Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.12.9 The Coriolis Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.13 The Coriolis Force on Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.13.1 The Local Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.13.2 The Coriolis Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.13.3 The f -Plane Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.13.4 The Beta-Plane Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.14 Exercise 4: The Coriolis Force in Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.14.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.14.2 First Attempt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.14.3 Improved Scheme 1: the Semi-Implicit Approach . . . . . . . . 53
3.14.4 Improved Scheme 2: The Local-Rotation Approach . . . . . . 55
3.14.5 Yes! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.14.6 Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.14.7 Inertial Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.14.8 Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.15 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.15.1 Laminar and Turbulent Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.15.2 The Reynolds Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.15.3 What Causes Turbulence? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.15.4 The Richardson Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.15.5 Turbulence Closure and Turbulent Diffusion . . . . . . . . . . . . . 59
3.15.6 Prandtl’s Mixing Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.15.7 Interpretation of the Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.16 The Navier–Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.16.1 Complete Set of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.16.2 Boundary Conditions for Oceanic Applications . . . . . . . . . . 61
3.17 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.17.1 The Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.17.2 Example of Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Long Waves in a Channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 More on Finite Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1
Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 Forward, Backward and Centred Differences . . . . . . . . . . . . 66
4.1.3 Scheme for the Second Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4 Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Long Surface Gravity Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Extraction of Individual Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2
Shallow-Water Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68