Contents
ix
3.7.3 Apparent Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.4 Lagrangian Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.5 Eulerian Frame of Reference and Advection . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.6
Interpretation of the Advection Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.7 The Nonlinear Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.8 Impacts of the Nonlinear Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8 Fundamental Conservation Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8.1
A List of Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8.2
Conservation of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8.3
Conservation of Volume – The Continuity Equation . . . . . . 30
3.8.4 Vertically Integrated Form of the Continuity Equation . . . . . 32
3.8.5 Divergence or Convergence? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8.6
The Continuity Equation for Streamf ows . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.8.7
Density. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.8.8
The Equation of State for Seawater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9 Gravity and the Buoyancy Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9.1 Archimedes’ Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9.2 Reduced Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.9.3 Stability Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.9.4
Stable, Neutral and Unstable Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10 Exercise 3: Oscillations of a Buoyant Object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10.3 Momentum Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10.4 Code Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10.5 Finite-Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10.6 Initial and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10.7 Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.10.8 Discussion of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.10.9 Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10.10 Inclusion of Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10.11 Additional Exercises for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11 The Pressure-Gradient Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11.1 The Hydrostatic Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11.2 Which Processes are Hydrostatic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11.3 The Hydrostatic Pressure Field in the Ocean . . . . . . . . . . . . . 41
3.11.4 Dynamic Pressure in the Ocean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.11.5 The Horizontal Pressure-Gradient Force . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.11.6 The Boussinesq Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.11.7 The Case of Uniform Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.12 The Coriolis Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.12.1 Apparent Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.12.2 The Centripetal Force and the Centrifugal Force . . . . . . . . . 44
3.12.3 Derivation of the Centripetal Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.12.4 The Centrifugal Force in a Rotating Fluid . . . . . . . . . . . . . . . 46
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3.7.3 Apparent Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.4 Lagrangian Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.5 Eulerian Frame of Reference and Advection . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.6
Interpretation of the Advection Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.7 The Nonlinear Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.8 Impacts of the Nonlinear Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8 Fundamental Conservation Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8.1
A List of Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8.2
Conservation of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8.3
Conservation of Volume – The Continuity Equation . . . . . . 30
3.8.4 Vertically Integrated Form of the Continuity Equation . . . . . 32
3.8.5 Divergence or Convergence? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8.6
The Continuity Equation for Streamf ows . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.8.7
Density. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.8.8
The Equation of State for Seawater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9 Gravity and the Buoyancy Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9.1 Archimedes’ Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.9.2 Reduced Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.9.3 Stability Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.9.4
Stable, Neutral and Unstable Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10 Exercise 3: Oscillations of a Buoyant Object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10.1 Aim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10.2 Task Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10.3 Momentum Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10.4 Code Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10.5 Finite-Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10.6 Initial and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.10.7 Sample Code and Animation Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.10.8 Discussion of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.10.9 Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10.10 Inclusion of Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.10.11 Additional Exercises for the Reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11 The Pressure-Gradient Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11.1 The Hydrostatic Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11.2 Which Processes are Hydrostatic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.11.3 The Hydrostatic Pressure Field in the Ocean . . . . . . . . . . . . . 41
3.11.4 Dynamic Pressure in the Ocean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.11.5 The Horizontal Pressure-Gradient Force . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.11.6 The Boussinesq Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.11.7 The Case of Uniform Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.12 The Coriolis Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.12.1 Apparent Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.12.2 The Centripetal Force and the Centrifugal Force . . . . . . . . . 44
3.12.3 Derivation of the Centripetal Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.12.4 The Centrifugal Force in a Rotating Fluid . . . . . . . . . . . . . . . 46