2. Processus physiques a l'echelle des bassins versants
71
div(pU) + a~;) + pq = 0
(2.16)
• Equation de Darcy : equation 2.14 dan s le cas all on peut negliger la
compressibilite de l'eau ou equat ion 2.15 dan s le cas cont raire.
• Equation d 'et at isotherm e de l'eau :
p = po e {3 (p - po )
(2.17)
• Equa t ion d 'et at de la matrice por euse t raduisant sa compressibilite et
dont l'exp ression est plu s complexe car elle se lie avec la compress ibilite
de l' eau pour donn er au premier ordre :
(2.18)
ou f3 est la cornpressibilit e de l'eau et 0: est la comp ressibilite de la matrice
[265] .
On va etablir a partir de ce syste me d 'equ ations un e equa t ion differen t ielle
dite equation de diffusivit e du second ordre. Ma is le mod e d 'et abli ssement de
cette equation est t res different selon que la nappe est libr e ou capt ive et derriere
d 'apparent es differences purement mathematiques, c'est la nature des tran smissions de pr ession qui se jou e.
2.4.2 .1 Napp e libre
On suppose que le milieu poreux n 'est sature que sur un e certaine hau t eur.
Dan s ce cas, tout e variat ion de cha rge se traduit par une vari ation de la cote
de la surface de l'aquifere : par var iat ion de la surface libre de l'aquifere 12 , de
l'eau peut etre stockee et destockee «facilement » dan s la mat rice poreuse, sans
mobili ser ni la compressibilite de l'eau , ni celie de l' air.
L'equ ation qui regit les ecoulements dan s ce cas est non lineaire (cf. exercice
2.5) :
[
=
::± ]
ah
div K(h - CJ ) V h = q + w at
On peut lineari ser l'equ ation 2.19 dan s deux sit uat ions simples.
(2.19)
• Si le substratum est horizont al (s = 0) et le milieu uniform e (K constant ),
alors :
(2.20)
12. La surface libre d' un aqui fere est l'altit ude OU la pression de l'eau est egale a la pression
atrnospher iqu e. C' est la cot e q ue I'on mesu re dans un pu its ou un piezorn et re.
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div(pU) + a~;) + pq = 0
(2.16)
• Equation de Darcy : equation 2.14 dan s le cas all on peut negliger la
compressibilite de l'eau ou equat ion 2.15 dan s le cas cont raire.
• Equation d 'et at isotherm e de l'eau :
p = po e {3 (p - po )
(2.17)
• Equa t ion d 'et at de la matrice por euse t raduisant sa compressibilite et
dont l'exp ression est plu s complexe car elle se lie avec la compress ibilite
de l' eau pour donn er au premier ordre :
(2.18)
ou f3 est la cornpressibilit e de l'eau et 0: est la comp ressibilite de la matrice
[265] .
On va etablir a partir de ce syste me d 'equ ations un e equa t ion differen t ielle
dite equation de diffusivit e du second ordre. Ma is le mod e d 'et abli ssement de
cette equation est t res different selon que la nappe est libr e ou capt ive et derriere
d 'apparent es differences purement mathematiques, c'est la nature des tran smissions de pr ession qui se jou e.
2.4.2 .1 Napp e libre
On suppose que le milieu poreux n 'est sature que sur un e certaine hau t eur.
Dan s ce cas, tout e variat ion de cha rge se traduit par une vari ation de la cote
de la surface de l'aquifere : par var iat ion de la surface libre de l'aquifere 12 , de
l'eau peut etre stockee et destockee «facilement » dan s la mat rice poreuse, sans
mobili ser ni la compressibilite de l'eau , ni celie de l' air.
L'equ ation qui regit les ecoulements dan s ce cas est non lineaire (cf. exercice
2.5) :
[
=
::± ]
ah
div K(h - CJ ) V h = q + w at
On peut lineari ser l'equ ation 2.19 dan s deux sit uat ions simples.
(2.19)
• Si le substratum est horizont al (s = 0) et le milieu uniform e (K constant ),
alors :
(2.20)
12. La surface libre d' un aqui fere est l'altit ude OU la pression de l'eau est egale a la pression
atrnospher iqu e. C' est la cot e q ue I'on mesu re dans un pu its ou un piezorn et re.