2. Processus ph ysiques a l'echelle des bassins versan ts 65
tti est un parametre positif, ayant la meme valeur que clan s la forrnul e c1e
su ccion (equation 2.3) .
Exercice 2.4 : Passer du microscopique au rnacroscopique pour
I'equation d e continuite
Idea lernent , si la geometric des pores ctai t parfaitement connue et decr ite, les
equat ions de Nav ier-S tokes pourraient etre utili sees pour mod eliser los ecoulements satu res dans u ne rnat rice poreuse. Notons qu e compte te rm c1u d iam etre
reduit des por es, l'effet des forces de ca pillarite sur les ecouleme nts ne peu t
et re neglige. Dans la prati que , I'approche microscopiqu e ne peu t etre couramment utilisee pa r manque cl 'informa t ion sur la geo metric cles pares et compte
te rm cle son cout en te m ps cle calcul. Les aquifer es sont clone generaleme nt
dec rits com me cles milieux ma croscopiqu em ent homogenes, I'eau occ upa nt ent iere me nt l'espa ce. Cet exercice a pour b ut cle mont rer comment la presen ce
de la ma t rice poreuse peu t et re prise en comp te clans le cas cle l'eq uation cle
cont inuite ,
Vi si on micro scopiqu e
Vi si on m a cr o scopiqu e
Dans t ill eco ulement fluide, l'eq uation cle cont inuit e (conse rva t ion cle la ma sse)
« microscopiqu e » eta blie sur un volume eleme nt aire c1v s'ecrit :
. ( ..,-7) up
di» pU + ut + pqe = 0
(2.8)
Oil p est la masse volumique de l'eau, tl est le vect eur vitesse locale de I'eau ,
qe est le deb it d 'echange par unite cle volume dv.
div (ptl) est le flux massique net ent ra nt par la surface d u volum e dv.
up! Dt est la va riation de masse stockee dans le volum e element aire dv.
Comment adapter l' equation 2.8 dans une approche macroscopique?
L'equation de con ti nui te est etablie sur un volume non infinitesimal V . Sur ce
volum e, la porosit e efficace est notee w. L' eau n'occupe que le volum e wV. La
masse stockee clans Ie volume V est pwV et la var iation c1e volum e est clone
Vu(pw)! ut. De meme, les echa nges n'ont lieu qu 'au t ra vers cle la poro site
efficace. Le flux moyen d 'echange q sur le volume V est relie a u flux d 'echan ge
qc : q = wqe'
tti est un parametre positif, ayant la meme valeur que clan s la forrnul e c1e
su ccion (equation 2.3) .
Exercice 2.4 : Passer du microscopique au rnacroscopique pour
I'equation d e continuite
Idea lernent , si la geometric des pores ctai t parfaitement connue et decr ite, les
equat ions de Nav ier-S tokes pourraient etre utili sees pour mod eliser los ecoulements satu res dans u ne rnat rice poreuse. Notons qu e compte te rm c1u d iam etre
reduit des por es, l'effet des forces de ca pillarite sur les ecouleme nts ne peu t
et re neglige. Dans la prati que , I'approche microscopiqu e ne peu t etre couramment utilisee pa r manque cl 'informa t ion sur la geo metric cles pares et compte
te rm cle son cout en te m ps cle calcul. Les aquifer es sont clone generaleme nt
dec rits com me cles milieux ma croscopiqu em ent homogenes, I'eau occ upa nt ent iere me nt l'espa ce. Cet exercice a pour b ut cle mont rer comment la presen ce
de la ma t rice poreuse peu t et re prise en comp te clans le cas cle l'eq uation cle
cont inuite ,
Vi si on micro scopiqu e
Vi si on m a cr o scopiqu e
Dans t ill eco ulement fluide, l'eq uation cle cont inuit e (conse rva t ion cle la ma sse)
« microscopiqu e » eta blie sur un volume eleme nt aire c1v s'ecrit :
. ( ..,-7) up
di» pU + ut + pqe = 0
(2.8)
Oil p est la masse volumique de l'eau, tl est le vect eur vitesse locale de I'eau ,
qe est le deb it d 'echange par unite cle volume dv.
div (ptl) est le flux massique net ent ra nt par la surface d u volum e dv.
up! Dt est la va riation de masse stockee dans le volum e element aire dv.
Comment adapter l' equation 2.8 dans une approche macroscopique?
L'equation de con ti nui te est etablie sur un volume non infinitesimal V . Sur ce
volum e, la porosit e efficace est notee w. L' eau n'occupe que le volum e wV. La
masse stockee clans Ie volume V est pwV et la var iation c1e volum e est clone
Vu(pw)! ut. De meme, les echa nges n'ont lieu qu 'au t ra vers cle la poro site
efficace. Le flux moyen d 'echange q sur le volume V est relie a u flux d 'echan ge
qc : q = wqe'