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Hydrologie quantit ati ve
Ce passage d 'une equation aux differences finies (2.4) a un e equat ion differentielle (2.5) n 'est pas si anodin qu 'il y par ait . II peut laisser ente ndre qu e
l'equation de Dar cy vaut pour un volume de sol aux dim ensions infinitesim ales.
Ce n 'est pa s Ie cas . La loi de Da rcy est un e relation empirique (ph enom enologiqu e) macroscopique, valable pour un volum e element aire de milieu poreux
suffisamment grand pour qu e les effets des heterogeneites du milieu pui ssent
et re moyenn es : volum e elementaire repr esent atif.
E n connaissant parfaitement la geomet rie des pores, il serait possible d 'appliquer les equations de la mecanique des fluides (equ ations de Navier-St okes)
pour represent er les ecouleme nts dan s un milieu poreux (annexe 2.1 et exercice 2.4) . Une te lle represent ation ne peut cependa nt et re utilisee couramment
qu e pour simuler les ecoulements dan s des milieux de dim ension limitee. Le
necessaire passage au « macroscopiqu e » que suppose I'u tili sation de la loi de
Darcy est un abandon de toute represe ntativite cinematique (vitesse reelle des
par ticules d 'eau) et de toute descrip tion fine des interactions eau-rnateriau (adsorpt ion, relargages, etc .) au profit d 'une repr esentation hydrodynamique.
Tou t ce que nou s dirons par la suite est par exemple t ot alernent in ad~~iu at
pour les questions de transferts de pollu an t s : la vitesse de filtration U= Q /.A
est bien inferieure a la vit esse de circulat ion des particules d 'eau , la vitesse
moyenn e de circ ulat ion dan s les pores et ant egale a 11 = U/w. C'est a ce prix
qu e I'on reconstit ue, pour Ie milieu souterrain, un systeme representatif des
flux et des tran smissions de pr essions.
2.3.2 Ecoulement de l'eau dans les milieux non satures
Dans un e matrice non saturee, la pression de I'eau n 'est plu s positive (charge)
mais negative (succion ou potentiel matriciel) . Le moteur de l'ecoulement est
Ie gradient de potentiel W. Par ana logie avec la loi de Dar cy, Richards (1931,
[346]) a propose d 'exprimer Ie flux unitaire U en fonction de la charge h = z +W
(equ ation 2.6).
(2.6)
L'exp ression de droite n 'est valable que si Ie te nseur K est diagon al dan s
Ie rep ere Ci ,y, zt). La permeabili t e du milieu K (e) n 'est plu s un e const ante
et doit et re ajustee pour cha que milieu poreux a partir de t est s d 'infiltration.
Brook s et Corey (1966, [70]) ont propo se la for me generi quo suivante :
_ ( e) (2+3m) / m
K (e) - tc, e
s
(2.7)
Hydrologie quantit ati ve
Ce passage d 'une equation aux differences finies (2.4) a un e equat ion differentielle (2.5) n 'est pas si anodin qu 'il y par ait . II peut laisser ente ndre qu e
l'equation de Dar cy vaut pour un volume de sol aux dim ensions infinitesim ales.
Ce n 'est pa s Ie cas . La loi de Da rcy est un e relation empirique (ph enom enologiqu e) macroscopique, valable pour un volum e element aire de milieu poreux
suffisamment grand pour qu e les effets des heterogeneites du milieu pui ssent
et re moyenn es : volum e elementaire repr esent atif.
E n connaissant parfaitement la geomet rie des pores, il serait possible d 'appliquer les equations de la mecanique des fluides (equ ations de Navier-St okes)
pour represent er les ecouleme nts dan s un milieu poreux (annexe 2.1 et exercice 2.4) . Une te lle represent ation ne peut cependa nt et re utilisee couramment
qu e pour simuler les ecoulements dan s des milieux de dim ension limitee. Le
necessaire passage au « macroscopiqu e » que suppose I'u tili sation de la loi de
Darcy est un abandon de toute represe ntativite cinematique (vitesse reelle des
par ticules d 'eau) et de toute descrip tion fine des interactions eau-rnateriau (adsorpt ion, relargages, etc .) au profit d 'une repr esentation hydrodynamique.
Tou t ce que nou s dirons par la suite est par exemple t ot alernent in ad~~iu at
pour les questions de transferts de pollu an t s : la vitesse de filtration U= Q /.A
est bien inferieure a la vit esse de circulat ion des particules d 'eau , la vitesse
moyenn e de circ ulat ion dan s les pores et ant egale a 11 = U/w. C'est a ce prix
qu e I'on reconstit ue, pour Ie milieu souterrain, un systeme representatif des
flux et des tran smissions de pr essions.
2.3.2 Ecoulement de l'eau dans les milieux non satures
Dans un e matrice non saturee, la pression de I'eau n 'est plu s positive (charge)
mais negative (succion ou potentiel matriciel) . Le moteur de l'ecoulement est
Ie gradient de potentiel W. Par ana logie avec la loi de Dar cy, Richards (1931,
[346]) a propose d 'exprimer Ie flux unitaire U en fonction de la charge h = z +W
(equ ation 2.6).
(2.6)
L'exp ression de droite n 'est valable que si Ie te nseur K est diagon al dan s
Ie rep ere Ci ,y, zt). La permeabili t e du milieu K (e) n 'est plu s un e const ante
et doit et re ajustee pour cha que milieu poreux a partir de t est s d 'infiltration.
Brook s et Corey (1966, [70]) ont propo se la for me generi quo suivante :
_ ( e) (2+3m) / m
K (e) - tc, e
s
(2.7)