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Hydrologie quantitative
L'originalite de la methode recursive de Bellman consiste a ca1culer en tout
point C de la grille Ie cout optimum et la decision optimale correspondante.
Pour cela on part du point B et on calcule les trajets et couts optimaux aux
points C du pas de temps (N - 1). Puis, connaissant ces trajets et couts optimaux, on ca1cule ceux du pas des points du pas de temps N - 2. Et ainsi de
suite en remontant «d'aval en amont ». Ensuite, connaissant en tout point de
la grille les decisions optimales, il ne reste plus qu'a repartir de A et avancer
en retenant a chaque instant t la decision optimale du point OU l'on est arrive
et ceci jusqu'a B. L'annexe 11.2 fournit Ie principe detaille de l'algorithme de
Bellman en avenir certain.
Le grand avantage de cette methode est d'obtenir de proche en proche une
trajectoire (une gestion) dont on est certain qu'elle est optimale : aucune autre
ne ferait mieux. On resout ainsi N problemes successifs de dimension n (nombre
de parametres d'etat et de decision, souvent n = Iou 2 dans notre cas) au lieu
d'un probleme de dimension N . n. Malgre cette simplification drastique, la
complexite et la longueur des ca1culs augmentent lorsque la grille comporte
beaucoup de points. Or la fiabilite et la precision du resultat dependent aussi
du nombre de points de la grille. Lorsque les lourdeurs de ca1cul deviennent excessives, on peut tenter d'utiliser un algorithme de calcul plus simple comme la
programmation lineaire (annexe 11.3), qui exige cependant que les contraintes
et la fonction de cout soient linearisables, ce qui n'est pas toujours possible.
Lorsque la fonction de cout ne depend pas du temps, mais seulement des variables d'etat et de decision, une methode tres simple [391, 392], dite « du fil
tendu» permet d'alleger encore davantage les calculs (annexe 11.4 : methode
du fil tendu).
Exemple du soutien d'etiage a l'aval immediat d'un reservoir en
derivation
Reprenons l'exemple de la figure 11.8 avec les donnees suivantes :
- St
- X t
- D t
- Xcible = 107 m
3
Is
- St = St-1 - Dt ·6.
- t = Max[O; (107 - X t - Dt)1
(Xt + D t )]
- D t < 30 m
3
Is
- St < 205 Mm
3 ; St > 20 Mm
3
- SA = 180 Mm
3 ; SE = 26 Mm
3
Stock dans Ie reservoir (volume)
Debit : apport naturel amont
Debit stocke ou lache (decision)
Equation d'etat du systeme physique
Fonction de cout bee au debit ava1
4
Debit maximum transitable (canaux)
Limites de stockage du reservoir
Reserves en debut et fin de periode
Hydrologie quantitative
L'originalite de la methode recursive de Bellman consiste a ca1culer en tout
point C de la grille Ie cout optimum et la decision optimale correspondante.
Pour cela on part du point B et on calcule les trajets et couts optimaux aux
points C du pas de temps (N - 1). Puis, connaissant ces trajets et couts optimaux, on ca1cule ceux du pas des points du pas de temps N - 2. Et ainsi de
suite en remontant «d'aval en amont ». Ensuite, connaissant en tout point de
la grille les decisions optimales, il ne reste plus qu'a repartir de A et avancer
en retenant a chaque instant t la decision optimale du point OU l'on est arrive
et ceci jusqu'a B. L'annexe 11.2 fournit Ie principe detaille de l'algorithme de
Bellman en avenir certain.
Le grand avantage de cette methode est d'obtenir de proche en proche une
trajectoire (une gestion) dont on est certain qu'elle est optimale : aucune autre
ne ferait mieux. On resout ainsi N problemes successifs de dimension n (nombre
de parametres d'etat et de decision, souvent n = Iou 2 dans notre cas) au lieu
d'un probleme de dimension N . n. Malgre cette simplification drastique, la
complexite et la longueur des ca1culs augmentent lorsque la grille comporte
beaucoup de points. Or la fiabilite et la precision du resultat dependent aussi
du nombre de points de la grille. Lorsque les lourdeurs de ca1cul deviennent excessives, on peut tenter d'utiliser un algorithme de calcul plus simple comme la
programmation lineaire (annexe 11.3), qui exige cependant que les contraintes
et la fonction de cout soient linearisables, ce qui n'est pas toujours possible.
Lorsque la fonction de cout ne depend pas du temps, mais seulement des variables d'etat et de decision, une methode tres simple [391, 392], dite « du fil
tendu» permet d'alleger encore davantage les calculs (annexe 11.4 : methode
du fil tendu).
Exemple du soutien d'etiage a l'aval immediat d'un reservoir en
derivation
Reprenons l'exemple de la figure 11.8 avec les donnees suivantes :
- St
- X t
- D t
- Xcible = 107 m
3
Is
- St = St-1 - Dt ·6.
- t = Max[O; (107 - X t - Dt)1
(Xt + D t )]
- D t < 30 m
3
Is
- St < 205 Mm
3 ; St > 20 Mm
3
- SA = 180 Mm
3 ; SE = 26 Mm
3
Stock dans Ie reservoir (volume)
Debit : apport naturel amont
Debit stocke ou lache (decision)
Equation d'etat du systeme physique
Fonction de cout bee au debit ava1
4
Debit maximum transitable (canaux)
Limites de stockage du reservoir
Reserves en debut et fin de periode