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Hydrologie quantitative
7.3.2.3 Approche bayesienne
On considere que les parametres p, J. L et p sont des variables aleatoires
inconnues. De plus on fait l'hypothese que leurs densites a priori suivent une
loi Gamma:
(
) a' -1
( b)b' -1
(
)c'-1
f(J.L) = ae- Ma J.La
g(p) = be-Mb J. L
et h(p) = ce-MC J.Lc
(7.75)
(a' - I)!
(b' - I)!
(c' - I)!
les a, b, c, a', b', c' sont des valeurs dont on a une evaluation a priori. Si p, J. L
et p sont independants, leur densite conjointe a priori s'ecrit :
g*(8) = f(J.L)g(p)h(p)
(7.76)
La vraisemblance V des parametres relativement aux observables est celle
indiquee en 7.3.2.2. Appliquons maintenant la formule de Bayes en utilisant V
et g*(8) :
**(8IQ)
g*(8) . V
g o b s = Jg*(t) . V . dt
V . f(J.L) . g(p) . h(p)
JV . f(J.L) . g(p) . h(p) . dJ.L· dp' dp
(7.77)
Le systeme d'equation a resoudre pour estimer p, J. L et p par leurs valeurs
modales devient :
NC+a' -NA -a = 0
8V
8J.L
8V
8p
8V
8p
J. L
N C + b' _ b - I:( Qj - S)p = 0
P
j=1
NC+d
~
~
- - - c + 2:)n(Qj - S) - p' ~)Qj - S)p ·In(Qj - S) = 0
P
j=1
j=1
(7.78)
Et on en deduit comme auparavant les valeurs de (Ii, p, fi) qui sont les estimations a posteriori des parametres. En l'absence d'estimation a priori des
parametres, on retrouve les memes resultats qu'au paragraphe precedent avec
a = b = c = 0 et a' = b' = c' = 1.
Si l'on souhaite rechercher les moyennes ou les quantiles a posteriori des
parametres, alors il faudra utiliser les methodes de calcul numerique MCMC (cf.
7.2.6.4) qui fournissent non seulement des valeurs ponctuelles, mais directement
la distribution a posteriori des parametres.