7. Predetermination des crues
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Moment d'ordre 1
Moment d'ordre 2
Loi theorique
M ( '(3) = roo . 8F(q;a;(3)d
I a,
Jo q
8q
q
M ( . (3) = roo 2. 8F(q; a; (3) d
2 a,
Jo q
8q
q
Echantillon
ml = 1t Lf:1 Qi
m2 = 1t Lf:1 Q;
On en deduit a et (3 en resolvant Ie systeme : { MM
I
((a; (3(3)) = ml
2 a;
= m2
D'une fac;on generale, lorsque la loi comporte k parametres, il faudra utiliser
de la meme fac;on les k premiers moments M I , M 2 " ... , Mk.
Statistiquement, l'estimation empirique d'un moment d'ordre k de l'echantillon est d'autant plus incertaine que l'ordre k est eleve et ceci a cause des
effets d'echantillonnage (taille limitee de l'echantillon dont on dispose). Des
lors il faut bien admettre qu'au-dela de l'ordre 4, voire 3, les incertitudes sont
telles que l'estimation est hautement risquee (perte de «robustesse»).
En pratique on s'efforce d'utiliser des lois a 1 ou 2 parametres, 3 quand
cela est vraiment necessaire, mais tres rarement davantage. Cette recherche
de la «robustesse» des estimations et donc des modeles auxquels elles sont
attachees, est essentielle, sachant que l'estimation d'un risque de crue n'a de
sens que si on en maitrise l'incertitude. A performances voisines, il vaut mieux
choisir Ie modele qui a Ie moins de parametres.
7.2.6.2 L'estimateur du Maximum de Vraisemblance
Son principe consiste a choisir les parametres a, (3, , de fac;on a ce que la
probabilite d'obtenir les valeurs observees de l'echantillon soit maximale. Si les
crues sont independantes, cette probabilite s'ecrit :
(7.36)
(7.37)
La fonction 7.37 est appelee «vraisemblance» du jeu de parametres e
compte tenu de l'echantillon des debits observes Qobs OU e = {a; (3; ,; ... } et
Qobs = {QI; Q2; Q3; ... }.
Des lors on choisira a,(3", ... de fac;on a ce que la« Vraisemblance» (a; (3; ,; ... )
soit maximum, en resolvant Ie systeme suivant :