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Hydrologie quantitative
• coefficient d'aplatissement K = f.L:
(J
avec m = E[Q], (J2 = E[(Q - m)2], f.Lk = E[(Q - m)k]
7.2.6 Estimation des parametres d'une loi theorique
A ce niveau, l'approche c1assique, qui cherche a identifier les vraies valeurs
inconnues des parametres, differe dans son principe de l'approche bayesienne,
qui cherche a identifier la distribution des parametres consideres comme variable aleatoire.
Plar;ons nous d'abord dans Ie cadre de l'approche c1assique : etant donne un
echantillon de crues observees Qi et ayant choisi un modele statistique, c'esta-dire une loi tMorique F(Q ;O!, (3, " ... ) parmi les lois presentees en section
7.2.5, comment estimer ces parametres O!, (3, " ... ?
Le choix de ces parametres a pour objectif de faire en sorte que la loi
tMorique retenue soit la plus « representative» possible de celle de la variable
aleatoire Q dont nous disposons d'une «realisation» {Ql, Q2, ... , QN}. Cette
notion de representativite est assez Houe et il est difficile de justifier un critere
d'adequation et donc un estimateur pluWt qu'un autre. Ceci dit, que demandet-on a un estimateur? Qu'il converge vers les vraies valeurs des parametres
O!, (3, , quand l'information augmente et qu'il converge vite (sachant que nos
echantillons sont souvent bien limites... ). En pratique, si on appelle eN l'ecart
inconnu entre les valeurs estimees et les vraies valeurs des parametres, cela veut
dire que:
• pour N donne, E (e N) = 0 (estimateur sans biais) ;
• eN tend vers 0 en probabilite quand N augmente (estimateur convergent);
• pour N donne, V ar(eN) est aussi faible que possible (estimateur precis).
Des lors les statisticiens n'ont eu de cesse de chercher des estimateurs plus
performants les uns que les autres. Les deux plus frequemment employes sont
presentes ci-apres.
7.2.6.1 L'estimateur des moments
Son principe consiste a choisir les parametres O!, (3, , de far;on a ce que
les moments theoriques de la loi retenue correspondent au mieux avec ceux de
l'echantillon observe.
Prenons Ie cas d'une loi F( Q; O!, (3) a deux parametres O! et (3 :
Hydrologie quantitative
• coefficient d'aplatissement K = f.L:
(J
avec m = E[Q], (J2 = E[(Q - m)2], f.Lk = E[(Q - m)k]
7.2.6 Estimation des parametres d'une loi theorique
A ce niveau, l'approche c1assique, qui cherche a identifier les vraies valeurs
inconnues des parametres, differe dans son principe de l'approche bayesienne,
qui cherche a identifier la distribution des parametres consideres comme variable aleatoire.
Plar;ons nous d'abord dans Ie cadre de l'approche c1assique : etant donne un
echantillon de crues observees Qi et ayant choisi un modele statistique, c'esta-dire une loi tMorique F(Q ;O!, (3, " ... ) parmi les lois presentees en section
7.2.5, comment estimer ces parametres O!, (3, " ... ?
Le choix de ces parametres a pour objectif de faire en sorte que la loi
tMorique retenue soit la plus « representative» possible de celle de la variable
aleatoire Q dont nous disposons d'une «realisation» {Ql, Q2, ... , QN}. Cette
notion de representativite est assez Houe et il est difficile de justifier un critere
d'adequation et donc un estimateur pluWt qu'un autre. Ceci dit, que demandet-on a un estimateur? Qu'il converge vers les vraies valeurs des parametres
O!, (3, , quand l'information augmente et qu'il converge vite (sachant que nos
echantillons sont souvent bien limites... ). En pratique, si on appelle eN l'ecart
inconnu entre les valeurs estimees et les vraies valeurs des parametres, cela veut
dire que:
• pour N donne, E (e N) = 0 (estimateur sans biais) ;
• eN tend vers 0 en probabilite quand N augmente (estimateur convergent);
• pour N donne, V ar(eN) est aussi faible que possible (estimateur precis).
Des lors les statisticiens n'ont eu de cesse de chercher des estimateurs plus
performants les uns que les autres. Les deux plus frequemment employes sont
presentes ci-apres.
7.2.6.1 L'estimateur des moments
Son principe consiste a choisir les parametres O!, (3, , de far;on a ce que
les moments theoriques de la loi retenue correspondent au mieux avec ceux de
l'echantillon observe.
Prenons Ie cas d'une loi F( Q; O!, (3) a deux parametres O! et (3 :