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Hydrologie quantitative
Cette loi gt'merale, appelee GEV (Generalized Extreme Values), prend les
trois formes possibles du TVE selon la valeur du parametre :
Si ~ = 0,
Si ~ < 0,
Si ~ > 0,
Loi de type I
Loi de type II
Loi de type III
Domaine de Gumbel
Domaine de Frechet
Domaine de Weibull
Le parametre ~ est alors estime a partir d'un echantillon observe de crues
et determine Ie type de loi retenu [178].
La loi de Weibull, valable pour des crues qui seraient bornees superieurement, nous parait a utiliser avec beaucoup de precaution. Meme si la formulation GEV semble avoir la faveur depuis quelques annees, elle n'est pas
fondamentalement differente dans son principe que l'utilisation directe des lois
de Gumbel ou Frechet, mais plutOt dans Ie mode d'estimation des parametres.
On trouvera en annexe 7.15 une presentation complementaire et surtout une
discussion de ces lois des valeurs extremes.
7.2.5.3 Lois de type « depassement de seuil »
Lorsque nous aborderons les methodes de type « Renouvellement » ou « Peak
Over Threshold (POT) », nous nous interesserons aux debits depassant un seuil
S, et nous chercherons des lois modelisant la distribution F(Q) = Prob[Q <
Q I Q > S]. Une des lois les plus utilisees est la loi de Weibull, a 2 parametres.
F(Q; S; a; (3) = 1 - e- a [Q-Sj{3
avec a et (3 > 0
f( Q; S; a; (3) = 8F(Q~~; a; (3) = a(3(Q _ S)13- 1 . e- a [Q-Sj{3
(7.25)
(7.26)
Cette loi est parfois appelee loi de Goodrich en rempla<;ant (3 par 1/7].
A signaler que la loi de Weibull avec (3 = 1, appelee loi «Exponentielle
Simple », bien qu'ayant seulement un parametre, convient souvent tres bien.
Comme pour la loi des maxima sur une periode, une presentation synthetique de la distribution des maxima au-dessus d'un seuil a ete proposee par
Pickands en 1975. II s'agit de la GPD (Generalized Pareto Distribution) :
1
Q-SF(Q;~;S;a) = 1- [l-C --]~ avec S = seuil, Q > S,a > 0 et ~ i- 0
a
Q-S
=l-e
a
avec ~ = 0
(7.27)