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Hydrologie quantitative
Max(Qi) pour i = 1, ... ,365.
Or, etant donne un ensemble de M variables aleatoires Xi, selon Ie Theoreme des Valeurs Extremes (TVE) 15, queUe que soit la loi F(X i ) de chaque Xi,
la loi G(X) de X i =l, ... ,M = Max(X i ) tend vers l'une des lois suivantes lorsque
M tend vers l'infini (cf annexe 7.15 pour une presentation detaillee de la theorie
des lois des valeurs extremes) :
Type I
Type II
Type III
G(x) = exp{ -exp[-x]}
G(x) = exp{ _x-Q}
G(x) = exp{-(-x)Q}
avec x > 0
avec x > 0
avec x < 0 et a >0
Domaine de Gumbel
Domaine de Frechet
Domaine de Weibull
Les lois qui furent parmi les plus utilisees pour les debits maxima annuels
Q furent d'abord les lois de Gumbel et de Frechet :
Loi de Gumbel
_[Q ~a]
F(Q; a; b) = e-e
(7.18)
avec a et b > 0
f(Q ' . b) = 8F(Q; a; b)
,a,
8Q
Loi de Frechet
~ ~ J(Q~a)- ,-(Q ~ a)1
b
(7.19)
_[In(Q ~ c) - a]
F(Q;a;b;c) =e-e
avec a, b et c > 0
(7.20)
f(Q ' . b' ) = 8F(Q; a; b; c) =
1
.e
,a, ,c
8Q
b(Q-c)
(7.21)
15. L'Emonce de ce theoreme a ete decouvert presque simultanement par F'rechet [138] et
Fischer et Tippet [132] qui en donnait une demonstration heuristique et il a ete demontre
rigoureusement par Gnedenko en 1943 [168]. Ceci dit, dans son application au maximum
des debits journaliers, qui ne sont pas independants, la reference a ce theoreme est aussi
qualitative que Ie Theoreme Central Limite I'est ala loi Normale.