7. Predetermination des crues
339
F(Q, e) = Prab[Q ~ Q]
(7.2)
L'approche probabiliste classique considere qu'il existe bien une telle
fonction, que les parametres existent bien e~x aussi, qu'ils sont fixes, mais inconnus. L'estimation ponctuelle de e, notee e, est incertaine du fait de la taille
limitee de l'echantillon. Si on considere ~usie~s echantillons de taille differente, on obtiendra autant d'estimations e 1 , ... , en, differentes qui peuvent etre
a leur tour considerees comme des realisations d'une variable aleatoire, ayant
sa propre distribution, ses moments et ses quantiles. Enfin on en deduira une
estimation de F(Q,e) par F(Q, e), ou esera l'estimation retenue de e.
Dans l'approche probabiliste classique, la probabilite s'interprete comme
une limite, lorsque Ie nombre d'observations augmente, de la frequence observee de l'occurrence de l'evenement. D'ou Ie nom d'analyse frequentielle, parfois
attribue a l'analyse statistique reposant sur l'approche classique. L'une des limites de cette approche est de supposer que l'extrapolation a partir de ces
frequences observees pour des evenements courants demeure pertinente lorsqu'il s'agit d'estimer des evenements tres rares. Vne reponse a cette limite est
l'adoption de l'approche bayesienne qui est basee sur une autre interpretation
des probabilites que celle des limites de frequences.
L'approche bayesienne 6 est fondee sur Ie concept de probabilite subjective d'un evenement incertain que l'analyste estime en procedant par comparaison devant un choix de loteries objectives. Cette interpretation est independante de l'observation hypothetique de frequences difficiles a concevoir
pour des evenements tres rares 7. Elle s'applique aussi bien a la variable Q, alea
phenomenologique naturel, qu'aux parametres e, incertains, du modele F(Q, e)
hypothetique pris en compte. L 'approche bayesienne considere donc que
les parametres e constituent eux-memes une variable aleatoire dont
la distribution se modifie au fur et a mesure que l'on dispose d'informations complementaires. Elle se fonde sur la regIe de Bayes qui enonce de
quelle fa<;on une probabilite a priori peut etre modifiee en probabilite a posteriori lorsqu'une nouvelle information (de nouveaux evenements) sont observes:
Cas discret de deux evenements A et B
Prab[A/B] = Prab[B/A]· Prab[A]
Prab[B]
(7.3)
6. Thomas Bayes (env. 1702 - 17 avril 1761), mathematicien britannique et pasteur a
publie de son vivant seulement deux ouvrages : La Bienveillance divine, ou une tentative de
preuve que la fin premiere de la Providence divine et du Gouvernement est Ie Bonheur de ses
creatures (1731) et Dne introduction it la doctrine des fluxions (1736). En fait il est connu
pour une publication posthume intitulee Essais sur la maniere de resoudre un probleme dans
la doctrine des risques (1763), dans laquelle figure la fameuse Regie de Bayes.
7. L'annexe 7.14 presente les principes et des exemples d'application de l'inference statistique bayesienne en hydrologie.
339
F(Q, e) = Prab[Q ~ Q]
(7.2)
L'approche probabiliste classique considere qu'il existe bien une telle
fonction, que les parametres existent bien e~x aussi, qu'ils sont fixes, mais inconnus. L'estimation ponctuelle de e, notee e, est incertaine du fait de la taille
limitee de l'echantillon. Si on considere ~usie~s echantillons de taille differente, on obtiendra autant d'estimations e 1 , ... , en, differentes qui peuvent etre
a leur tour considerees comme des realisations d'une variable aleatoire, ayant
sa propre distribution, ses moments et ses quantiles. Enfin on en deduira une
estimation de F(Q,e) par F(Q, e), ou esera l'estimation retenue de e.
Dans l'approche probabiliste classique, la probabilite s'interprete comme
une limite, lorsque Ie nombre d'observations augmente, de la frequence observee de l'occurrence de l'evenement. D'ou Ie nom d'analyse frequentielle, parfois
attribue a l'analyse statistique reposant sur l'approche classique. L'une des limites de cette approche est de supposer que l'extrapolation a partir de ces
frequences observees pour des evenements courants demeure pertinente lorsqu'il s'agit d'estimer des evenements tres rares. Vne reponse a cette limite est
l'adoption de l'approche bayesienne qui est basee sur une autre interpretation
des probabilites que celle des limites de frequences.
L'approche bayesienne 6 est fondee sur Ie concept de probabilite subjective d'un evenement incertain que l'analyste estime en procedant par comparaison devant un choix de loteries objectives. Cette interpretation est independante de l'observation hypothetique de frequences difficiles a concevoir
pour des evenements tres rares 7. Elle s'applique aussi bien a la variable Q, alea
phenomenologique naturel, qu'aux parametres e, incertains, du modele F(Q, e)
hypothetique pris en compte. L 'approche bayesienne considere donc que
les parametres e constituent eux-memes une variable aleatoire dont
la distribution se modifie au fur et a mesure que l'on dispose d'informations complementaires. Elle se fonde sur la regIe de Bayes qui enonce de
quelle fa<;on une probabilite a priori peut etre modifiee en probabilite a posteriori lorsqu'une nouvelle information (de nouveaux evenements) sont observes:
Cas discret de deux evenements A et B
Prab[A/B] = Prab[B/A]· Prab[A]
Prab[B]
(7.3)
6. Thomas Bayes (env. 1702 - 17 avril 1761), mathematicien britannique et pasteur a
publie de son vivant seulement deux ouvrages : La Bienveillance divine, ou une tentative de
preuve que la fin premiere de la Providence divine et du Gouvernement est Ie Bonheur de ses
creatures (1731) et Dne introduction it la doctrine des fluxions (1736). En fait il est connu
pour une publication posthume intitulee Essais sur la maniere de resoudre un probleme dans
la doctrine des risques (1763), dans laquelle figure la fameuse Regie de Bayes.
7. L'annexe 7.14 presente les principes et des exemples d'application de l'inference statistique bayesienne en hydrologie.