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Hydrologie qu antit ative
5.5.1 Types et causes de non-statlonnarites
5.5.1.1 Types d e non-stat.ionnarites
Nous irons du plu s simple au plu s general, en nou s basan t sur la definition
de la form e faibl e de la stationnarite :
• changement pon ctuel de la moyenn e : m ; = m l si i < i o , et m ; = m 2 si
i > i o . Ce ty pe de non-st ationnarit e, qui peut egalement se formuler pour
la var iance, est souvent appelee « rupture» ;
• evolution de tn; progressive, par exem ple m; = mo + Ai avec A constant ,
on parle alors de « derive » .
Rupture ou derive peuvent se combiner (m i = m l si i < i o et m ; = m 2 + Ai
si i > io). Elles peuvent et re persist ant es ou t ransitoires, ou encore multiples.
Une autre approche consist e it considerer que Ie processus est la somme d 'un
terme deterrnini st e non st ationna ire (par exemple un polynome P(t) ou toute
autre fonc tion , event uellernent cyclique), d 'un te rme non stationnaire st ochas -
t ique (au toregressif par exemple) et d 'un t erme stationna ire (comm e un bruit
blan c).
Encore plu s generalement, les non-st a tionn arites peuvent etre I'effet de superpositions de cycles non periodiques, plu s ou moin s longs et d 'amplitude plu s
ou moin s grandes, casse-tete aidentifier, meme par I'an alyse spectrale. Mandelbrot [256], apres Hur st [204]' a qu an tifie et mod elise ces fluctuations (ef annexe
5.4). Toutefois Mandelbrot [255] emet finalement quelqu es dou tes sur la realite
de ces cycles, du fait not amment de la longu eur plu s ou moin s restreint e des
periodes observees disponibles. Ce derni er point pose Ie probleme de la realite
physique des non-st at ionnarit es : une non-st at ionn arite n 'est pas distin gu abl e
d 'un cycle long d 'un pro cessus stationnaire lorsqu e la period e d 'observation est
insuffisant e.
5.5.1.2 Distinguer variabilite naturelle et non-stationnarite
La longueur de la period e observee est un element cle, Comm ent identifier un ph enom ene st ationn aire don t les periodes des vari ations naturelles sont
pro ches ou supe rieures aux quelqu es dizaines d 'annees d 'ob servations ? Une
non- st ationnarite constatee ne cesserait-elle pas d 'etre ainsi classee si on disposait de qu elques centaines ou milliers cl 'annees ? Peut-on , de plu s, et re certain
qu 'un ph enom ene apparemment stationnaire sur la pericde d 'ob servation ne va
pa s deriver dan s I'aveni r qui nous interesse ? D 'un point de vue pr atique, la notion de non- st at ionn arite n 'a reellement de sens que si I'on precise la longueur
de la periode observee et celle de la periods du futur concernee par l'etude,
On est te nte de distinguer les fluctuations modelisabl es qui , it l'echelle de ces
periodes, sont percues comme la variabilite naturelle exp licable, et les « vraies »
non- st ationnarites qui sont parfois detectabl es, don t on ne sait si elles appartiennen t ou non a la variabilite naturelle de longue peri ode , et qui sont , en
Hydrologie qu antit ative
5.5.1 Types et causes de non-statlonnarites
5.5.1.1 Types d e non-stat.ionnarites
Nous irons du plu s simple au plu s general, en nou s basan t sur la definition
de la form e faibl e de la stationnarite :
• changement pon ctuel de la moyenn e : m ; = m l si i < i o , et m ; = m 2 si
i > i o . Ce ty pe de non-st ationnarit e, qui peut egalement se formuler pour
la var iance, est souvent appelee « rupture» ;
• evolution de tn; progressive, par exem ple m; = mo + Ai avec A constant ,
on parle alors de « derive » .
Rupture ou derive peuvent se combiner (m i = m l si i < i o et m ; = m 2 + Ai
si i > io). Elles peuvent et re persist ant es ou t ransitoires, ou encore multiples.
Une autre approche consist e it considerer que Ie processus est la somme d 'un
terme deterrnini st e non st ationna ire (par exemple un polynome P(t) ou toute
autre fonc tion , event uellernent cyclique), d 'un te rme non stationnaire st ochas -
t ique (au toregressif par exemple) et d 'un t erme stationna ire (comm e un bruit
blan c).
Encore plu s generalement, les non-st a tionn arites peuvent etre I'effet de superpositions de cycles non periodiques, plu s ou moin s longs et d 'amplitude plu s
ou moin s grandes, casse-tete aidentifier, meme par I'an alyse spectrale. Mandelbrot [256], apres Hur st [204]' a qu an tifie et mod elise ces fluctuations (ef annexe
5.4). Toutefois Mandelbrot [255] emet finalement quelqu es dou tes sur la realite
de ces cycles, du fait not amment de la longu eur plu s ou moin s restreint e des
periodes observees disponibles. Ce derni er point pose Ie probleme de la realite
physique des non-st at ionnarit es : une non-st at ionn arite n 'est pas distin gu abl e
d 'un cycle long d 'un pro cessus stationnaire lorsqu e la period e d 'observation est
insuffisant e.
5.5.1.2 Distinguer variabilite naturelle et non-stationnarite
La longueur de la period e observee est un element cle, Comm ent identifier un ph enom ene st ationn aire don t les periodes des vari ations naturelles sont
pro ches ou supe rieures aux quelqu es dizaines d 'annees d 'ob servations ? Une
non- st ationnarite constatee ne cesserait-elle pas d 'etre ainsi classee si on disposait de qu elques centaines ou milliers cl 'annees ? Peut-on , de plu s, et re certain
qu 'un ph enom ene apparemment stationnaire sur la pericde d 'ob servation ne va
pa s deriver dan s I'aveni r qui nous interesse ? D 'un point de vue pr atique, la notion de non- st at ionn arite n 'a reellement de sens que si I'on precise la longueur
de la periode observee et celle de la periods du futur concernee par l'etude,
On est te nte de distinguer les fluctuations modelisabl es qui , it l'echelle de ces
periodes, sont percues comme la variabilite naturelle exp licable, et les « vraies »
non- st ationnarites qui sont parfois detectabl es, don t on ne sait si elles appartiennen t ou non a la variabilite naturelle de longue peri ode , et qui sont , en