4. Mesure en hydrologie
177
Cotto prem iere condit ion implique don e que L:7= , .Ai = 1.
Toujours sous cet te hyp othese d 'horn ogeneite, non s rccherchons les valeu rs des
coefficients .Ai qui minimisen t la varian ce de l'erreur d 'estimation (Po - Po) :
Va.1 1' 0- Pol ~ E [(t, >.;P, _ po)']
qu i peu t aussi s'ecrire
(4.5)
V "·lpo- Po)~ E [( (t, .x,F, - EIFI) - (Fo_ E[PJ)) ' ]
(4.6)
En develop pant et en not an t qu e L:;::! .Ai = 1 on obt ient
Va.1 1' 0- Pol ~ E [(t, .x,(P, - EIPJ)) ']
- 2E [ (~ .Ai(Pi - E[P])) (Po - E[P])] + E[( Po - E[P])2]
(4.i)
au en roforrnu lan t
1l
11
Var[P o - Po] = L .ATVar (P) + 2 L L .Ai.Aj COV (P i , P j ) -
i= !
i = ! j # i
n
2 L .AiCOV (P i , Po) + Var(P o )
(4.8)
i= !
II s'agit de det erminer les valeurs des pa ramet res .Ai minimisant Var [P o - Pol
sous la contra inte L:;::! .Ai = 1. Pour resoudre ce sys te ms rl'equ a tions sous
cont rainte, on utilise Ie principe du mu ltiplica teur de Lagran ge. Po sons
H = Va r[Po - Po]+ .Ao (~ .Ai -1 )
(4.9)
.Ao est un paramet re supplement aire. Les parametres .Ai min imisant H sont
ceux qui annulent la derives de H.
(4.10)
Ce systeme linea ire de n equations it n inconnues se resoud classiqu emen t. II
necessit e I'inversion d 'une ma trice.