4. Mesure en hydrologie
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4.1.4.2 Vne methode plus elaboree : Ie krigeage
La methode des polygones de Thiessen, pour simple qu 'eUe soit, suppose des
discontinuites qui n 'ont aucune justification particuliere. 11 est plu s satisfaisant
de recouri r a des methodes d 'in terpolation conduisan t a des cha mps de pluie
cont inus plu s realis t es. De tres nombreuses methodes d 'interpolation peuvent
etre proposecs (fonction spline, inverse de la dist an ce...). La methode qui s'e st
cependa nt imposee comm e reference en hydrologie pour interpoler les donnees
pluviornetriques est une methode geostatistique : le krigeage . Nous en exposons
ici succinct ement les principes 10 .
E n tout poin t de l'espace, on recherche la meilleure estimation possible Po
de la valeur realises Po - un cumul de pluie sur une duree don nee dan s le cas pr esent - sous la form e d 'une combinaison lineaire des observa tions environna nte s
Pi (equ ation 4.2) . Le problerne consis te a determiner les valeurs optimales des
coefficient s de ponderation Ai .
n
Po = I: AiPi
i = l
(4.2)
Si l'on considere un champ de pluie (i.e. la distribution spati ale des cumuls
de pluie) comme la realisation d 'un t irage aleato ire 11 dan s une meme loi de
probabilit e de variables depend an tes et si l'on fait un cert ain nomb re d 'hypo th eses sur la stru ct ure spatiale de ces dependances, alors il est possible de
definir simplement quelles condi tions doivent remplir les coefficients Ai pour
une interpolation optimale (cf. encadre 4.3) .
• L' inte rpolat ion est optimale si l'estimat eur est en moyenn e (en esperance)
non biai se sur la zone consideree , ce qui s'ecrit E[P o - Po ] = O.
• L'e stimateur optimal minimise aussi la vari an ce de l'erreur d 'estimation
Var [P o - Po]. En posant un mod ele de correlat ion spat iale des realisations
(i.e. un mod ele definissant la valeur de Cov [P i , P j ] Vi,j), qui peu t etre
ajuste sur les observa tions disponibles, les valeurs des Ai se deduis ent de
ces deux condit ions (cf. encadre 4.3).
On considere generalement que les cha mps de pluie sont hornogenes (i.e.
l'esperan ce et la variance du cumul de pluie sont independantes de la localisat ion). Si ce n 'est pas le cas 12, on const ru it un mod ele expli catif des tendan ces
10. O n peut se refer er a ux nom br eux ou vrages t ra it ant de la theorie et de l'applica ti on de s
geostatisti q ues pour de pl us amples de veloppernent s et notamment [271] .
11. D 'OII Ie qu al ificar.if de « geostatisti q ue » pour design er ces a pp roches .
12. En zon e cotierc, les cu mul s peuvent depend re de la d ist an ce a la mer et en zon e de
mon t age, ils d ependen t du relief (efTet or ograph iq ue, role d es vallees ) et d e l'exp osition ; les
versants exp oses a ux vent s d om in a nt s son t generalernen t plu s a rro ses que les versant s sous Ie
vent (efTet de foehn) .
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4.1.4.2 Vne methode plus elaboree : Ie krigeage
La methode des polygones de Thiessen, pour simple qu 'eUe soit, suppose des
discontinuites qui n 'ont aucune justification particuliere. 11 est plu s satisfaisant
de recouri r a des methodes d 'in terpolation conduisan t a des cha mps de pluie
cont inus plu s realis t es. De tres nombreuses methodes d 'interpolation peuvent
etre proposecs (fonction spline, inverse de la dist an ce...). La methode qui s'e st
cependa nt imposee comm e reference en hydrologie pour interpoler les donnees
pluviornetriques est une methode geostatistique : le krigeage . Nous en exposons
ici succinct ement les principes 10 .
E n tout poin t de l'espace, on recherche la meilleure estimation possible Po
de la valeur realises Po - un cumul de pluie sur une duree don nee dan s le cas pr esent - sous la form e d 'une combinaison lineaire des observa tions environna nte s
Pi (equ ation 4.2) . Le problerne consis te a determiner les valeurs optimales des
coefficient s de ponderation Ai .
n
Po = I: AiPi
i = l
(4.2)
Si l'on considere un champ de pluie (i.e. la distribution spati ale des cumuls
de pluie) comme la realisation d 'un t irage aleato ire 11 dan s une meme loi de
probabilit e de variables depend an tes et si l'on fait un cert ain nomb re d 'hypo th eses sur la stru ct ure spatiale de ces dependances, alors il est possible de
definir simplement quelles condi tions doivent remplir les coefficients Ai pour
une interpolation optimale (cf. encadre 4.3) .
• L' inte rpolat ion est optimale si l'estimat eur est en moyenn e (en esperance)
non biai se sur la zone consideree , ce qui s'ecrit E[P o - Po ] = O.
• L'e stimateur optimal minimise aussi la vari an ce de l'erreur d 'estimation
Var [P o - Po]. En posant un mod ele de correlat ion spat iale des realisations
(i.e. un mod ele definissant la valeur de Cov [P i , P j ] Vi,j), qui peu t etre
ajuste sur les observa tions disponibles, les valeurs des Ai se deduis ent de
ces deux condit ions (cf. encadre 4.3).
On considere generalement que les cha mps de pluie sont hornogenes (i.e.
l'esperan ce et la variance du cumul de pluie sont independantes de la localisat ion). Si ce n 'est pas le cas 12, on const ru it un mod ele expli catif des tendan ces
10. O n peut se refer er a ux nom br eux ou vrages t ra it ant de la theorie et de l'applica ti on de s
geostatisti q ues pour de pl us amples de veloppernent s et notamment [271] .
11. D 'OII Ie qu al ificar.if de « geostatisti q ue » pour design er ces a pp roches .
12. En zon e cotierc, les cu mul s peuvent depend re de la d ist an ce a la mer et en zon e de
mon t age, ils d ependen t du relief (efTet or ograph iq ue, role d es vallees ) et d e l'exp osition ; les
versants exp oses a ux vent s d om in a nt s son t generalernen t plu s a rro ses que les versant s sous Ie
vent (efTet de foehn) .