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Hyd rologie qu antit ative
• E(t) suit une loi Normale [0; a ];
• les X i(t) sont non colinea ires et meme ind epend ant s ;
• Qs (t) et les X i(t - k) sont mesures sans erreurs.
Les principes des mod eles regressifs sont ra ppeles en annexe 3.1.
E n pr evision , sur t out complete par un trait ement d 'erreur, un modele regressif simple reliant une ou deux vari ables amont est parfoi s suffisant. II peut
meme et re bien ada pte en pr esence de nombreux affiuents. Mais souvent, notamme nt s'agissant de reconstit ution, les vari abl es amont X i(t ) sont des debit s
pris a plu sieur s pas de te mps successifs et ne sont pas ind epend an t s, rneme en
t ravailla nt sur des differences. On leur pr efere alors les mod eles aut oregressifs.
3.3.4.2 Les model es autoregressifs (modele OD)
Des mod eles regressifs aux mod eles auioreqressijs : on
identifie les param etres du modele en tenant compte
des autocorrelaiions des vari ables, ce qui elarqit le
champ d 'application de ces mod eles stochasti ques, qui
resieni malgre tout lineaire s.
li s enr ichissent considera blernent les modeles regressifs en pr enant en compte
les au to correlations, to ut en conservant l'avan t age d 'une mise en ceuvre facilitee. lis sont nomb reux, depuis Ie plu s simple (AR( p)) jusqu'aux mod eles
ARMAX(p, q) et aut res plu s perfectionnes.
L' annexe 3.1 pr esent e les different s mod eles aut oregressifs et not amment
l'identification de leurs coefficients. On pourra egalement consulte r [65] . P armi
ces modeles, ceux qui pr esent ent Ie plu s d 'interet pour la propagation des crues
sont les rnod eles ARX et ARMAX.
Le modele ARX relie lineair ernent des grandeurs amont, mais egalement
aval, aux inst ants t - 1, t - 2, ... t - k a celles de l'aval a l'in st ant t :
p
q
Qs( t ) = L aiQs (t - 1) + L bjQ E(t - j ) + E(t)
1
1
(3.64)
E(t) est un bruit blan c et les est imations des o.; et b j sont , cette fois, fait es
soit en te na nt compte des corre lations entre Qs (t ) et QE(t ) , ainsi que des autocorrelations, soit sur des criteres de type moindres carres.
Frequernme nt E(t) n 'est pas un bru it blanc pur et on doit plu t6t utili ser un
modele ARM AX :
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Hyd rologie qu antit ative
• E(t) suit une loi Normale [0; a ];
• les X i(t) sont non colinea ires et meme ind epend ant s ;
• Qs (t) et les X i(t - k) sont mesures sans erreurs.
Les principes des mod eles regressifs sont ra ppeles en annexe 3.1.
E n pr evision , sur t out complete par un trait ement d 'erreur, un modele regressif simple reliant une ou deux vari ables amont est parfoi s suffisant. II peut
meme et re bien ada pte en pr esence de nombreux affiuents. Mais souvent, notamme nt s'agissant de reconstit ution, les vari abl es amont X i(t ) sont des debit s
pris a plu sieur s pas de te mps successifs et ne sont pas ind epend an t s, rneme en
t ravailla nt sur des differences. On leur pr efere alors les mod eles aut oregressifs.
3.3.4.2 Les model es autoregressifs (modele OD)
Des mod eles regressifs aux mod eles auioreqressijs : on
identifie les param etres du modele en tenant compte
des autocorrelaiions des vari ables, ce qui elarqit le
champ d 'application de ces mod eles stochasti ques, qui
resieni malgre tout lineaire s.
li s enr ichissent considera blernent les modeles regressifs en pr enant en compte
les au to correlations, to ut en conservant l'avan t age d 'une mise en ceuvre facilitee. lis sont nomb reux, depuis Ie plu s simple (AR( p)) jusqu'aux mod eles
ARMAX(p, q) et aut res plu s perfectionnes.
L' annexe 3.1 pr esent e les different s mod eles aut oregressifs et not amment
l'identification de leurs coefficients. On pourra egalement consulte r [65] . P armi
ces modeles, ceux qui pr esent ent Ie plu s d 'interet pour la propagation des crues
sont les rnod eles ARX et ARMAX.
Le modele ARX relie lineair ernent des grandeurs amont, mais egalement
aval, aux inst ants t - 1, t - 2, ... t - k a celles de l'aval a l'in st ant t :
p
q
Qs( t ) = L aiQs (t - 1) + L bjQ E(t - j ) + E(t)
1
1
(3.64)
E(t) est un bruit blan c et les est imations des o.; et b j sont , cette fois, fait es
soit en te na nt compte des corre lations entre Qs (t ) et QE(t ) , ainsi que des autocorrelations, soit sur des criteres de type moindres carres.
Frequernme nt E(t) n 'est pas un bru it blanc pur et on doit plu t6t utili ser un
modele ARM AX :