2. Processus ph ysiques a l'echelle des bassin s versants
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Solut ion
On suppose p et w cons tants (aquifere lib re, pas de compress ion). On suppose
au ssi (hy pothese de Dupui t) , que l'ecoul emen t est horizontal et qu e Ie te nse ur
de permeabilit e est isotrope dans Ie plan horizon t al [( = diag ([(x, [( y, [(v ).
On et ablit ensuitc Ie bilan sur un prisme ver tical de base dx .dy delimite par
le substrat um (cote a) et la sur face libre (cote h).
L'eq uation de conse rvation et a blit Ie bilan ent re Ie flux ma ssique horizontal
entra nt et sortant du pr ism e tJ.F, le flux d 'echan ge ver ti cal D et la vari at ion de ma sse d 'eau de l'elem ent tJ. V durant un intervall e de te mps dt :
tJ.V = - D - tJ.F. Afin de ca lculer tJ.F, il fau t integrer la vit esse U sur
chaque face du pri sme, U et ant det ermine par la loi de Darcy. Si I'on suppose
l'ecoulement horizont al on ob t ient U x = [(xah/ax et Uy= [(yah /ax.
On deduit :
si [(x et [(y sont constants sur la ver ti cal e on en deduit :
[ a ( ah
) a ( ah
) ]
tJ.F = pdxd y a x [(x a x (h - a) + ay [( y ay (h - a)
D = pqd:rd y
a h
tJ. V = pw ate1xd y
En substit uant dans l'equat ion de conservation et en simplifiant par lc terrne
pd:rely, on obtient :
a (1 a ll ) a (1' a h )
a h
~
[( x ",,,dz + ~
[(y- a d z = q+w - a
o x
z
os:
v y
z
Y
t
soit
[
-
]
a ll
diu [( (Il - a) li = q +w at