3.5 Le cas purement radial
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queues des intégrales, provenant par exemple de la majoration uniforme de
la suite de fonctions (dans l’esprit du Théorème de convergence dominée de
Lebesgue).
Revenons maintenant à notre problème (3.47). Sans même utiliser le Théorème 3.9, on peut appliquer mot pour mot le raisonnement utilisé dans le cas
standard. Le problème est bien posé, et quitte à extraire, nous pouvons supposer que la suite minimisante (u n ) n∈I N arbitraire converge faiblement vers u.
Cette fonction u vérifie encore
I R 3
u
2
≤ λ,
(3.49)
E(u) ≤ lim inf
n→+∞
E(u n ) = I
r
λ .
(3.50)
Il s’agit à ce point de faire deux remarques. D’abord, on dispose d’un peu plus
d’informations que dans le cas standard sur le comportement des termes de
l’énergie puisque on peut en fait prouver, à l’aide du Théorème 3.9, que
lim
n→+∞
I R 3
|u n |
10/3 =
|u|
10/3 ,
(3.51)
et
lim
n→+∞
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2
n (x)u
2
n (y)
|x − y|
dx dy =
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy. (3.52)
La preuve de (3.51) est triviale, et celle de (3.52) fait l’objet de l’Exercice
3.3 (noter que dans le cas standard on n’avait que des limites inférieures).
Malheureusement, à cause du fait que le cas p = 2 n’est pas concerné par
le Théorème 3.9, on ne peut pas conclure plus facilement que dans le cas
standard (noter que si la contrainte était de la forme
I R 3
|u|
p = λ avec p > 2
on pourrait conclure directement sur le cas radial, alors que le cas non radial
demanderait les mêmes techniques que le cas p = 2), et il nous faut adopter
la même stratégie que ci-dessus, avec cependant quelques variantes que nous
allons maintenant indiquer (voir Section 3.1.2 pour les notations).
Nous introduisons le problème à contrainte relâchée
I
r
λ = inf
E(u), u ∈ H
1
r (IR
3 ),
I R 3
|u|
2
≤ λ
,
(3.53)
dont nous prouvons que l’infimum est égal à I
r
λ en utilisant une fonction w un
peu différente de celle utilisée ci-dessus (qui n’était pas radiale, puisqu’on était
amené à faire une translation). On introduit en effet une fonction ϕ ∈ C
∞
0 (IR
3 )
qui vérifie les propriétés suivantes : elle est à symétrie sphérique, elle satisfait
I R 3
ϕ
2 = λ − α, elle a son support dans la couronne sphérique 1 ≤ |x| ≤ 2.
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queues des intégrales, provenant par exemple de la majoration uniforme de
la suite de fonctions (dans l’esprit du Théorème de convergence dominée de
Lebesgue).
Revenons maintenant à notre problème (3.47). Sans même utiliser le Théorème 3.9, on peut appliquer mot pour mot le raisonnement utilisé dans le cas
standard. Le problème est bien posé, et quitte à extraire, nous pouvons supposer que la suite minimisante (u n ) n∈I N arbitraire converge faiblement vers u.
Cette fonction u vérifie encore
I R 3
u
2
≤ λ,
(3.49)
E(u) ≤ lim inf
n→+∞
E(u n ) = I
r
λ .
(3.50)
Il s’agit à ce point de faire deux remarques. D’abord, on dispose d’un peu plus
d’informations que dans le cas standard sur le comportement des termes de
l’énergie puisque on peut en fait prouver, à l’aide du Théorème 3.9, que
lim
n→+∞
I R 3
|u n |
10/3 =
|u|
10/3 ,
(3.51)
et
lim
n→+∞
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2
n (x)u
2
n (y)
|x − y|
dx dy =
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy. (3.52)
La preuve de (3.51) est triviale, et celle de (3.52) fait l’objet de l’Exercice
3.3 (noter que dans le cas standard on n’avait que des limites inférieures).
Malheureusement, à cause du fait que le cas p = 2 n’est pas concerné par
le Théorème 3.9, on ne peut pas conclure plus facilement que dans le cas
standard (noter que si la contrainte était de la forme
I R 3
|u|
p = λ avec p > 2
on pourrait conclure directement sur le cas radial, alors que le cas non radial
demanderait les mêmes techniques que le cas p = 2), et il nous faut adopter
la même stratégie que ci-dessus, avec cependant quelques variantes que nous
allons maintenant indiquer (voir Section 3.1.2 pour les notations).
Nous introduisons le problème à contrainte relâchée
I
r
λ = inf
E(u), u ∈ H
1
r (IR
3 ),
I R 3
|u|
2
≤ λ
,
(3.53)
dont nous prouvons que l’infimum est égal à I
r
λ en utilisant une fonction w un
peu différente de celle utilisée ci-dessus (qui n’était pas radiale, puisqu’on était
amené à faire une translation). On introduit en effet une fonction ϕ ∈ C
∞
0 (IR
3 )
qui vérifie les propriétés suivantes : elle est à symétrie sphérique, elle satisfait
I R 3
ϕ
2 = λ − α, elle a son support dans la couronne sphérique 1 ≤ |x| ≤ 2.