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3 Le même problème sur l’espace tout entier
Remarque 3.10 Bien noter que, par rapport au Théorème de Rellich-Kondrakov concernant le cas d’un domaine borné, on perd la compacité de l’injection dans le cas p = 2. Un contre-exemple standard est le suivant :
on fixe u ∈ C
∞
0 (IR
3 ) radiale telle que
I R 3
u
2 = 1, et on regarde la suite
(u n ) n∈I N ∗ définie par u n (x) =
1
n 3/2 u(
1
n
x). Alors il est facile de voir que l’on
a
I R 3
|∇u n |
2 =
C
te
n 2 et
I R 3
u
2
n = 1, d’où l’on déduit par l’inégalité d’interpolation que (u n ) n∈I N ∗ converge fortement vers la fonction nulle dans tous les
L
p (IR
3 ) pour 2 < p ≤ 6 mais certainement pas dans L
2 (IR
3 ).
Donnons une idée d’une preuve possible de ce résultat, que nous trouvons très
instructive sur la simplification amenée, quant aux questions de compacité,
par le fait de considérer des fonctions radiales. Nous avons en fait le lemme
suivant :
Lemme 3.11 Si u ∈ H
1
r (IR
3 ), alors u est presque partout égale à une fonction
continue qui vérifie, pour |x| ≥ 1, l’inégalité
|u(x)| ≤
C
|x| 1/2 L 2 (I R 3 ) ,
(3.48)
où la constante C ne dépend pas de u.
A l’aide de ce lemme, prouvons le Théorème 3.9. Prenons une suite bornée
(u n ) n∈I N dans H
1
r (IR
3 ). Quitte à extraire, nous supposons qu’elle converge
faiblement vers u. Soit 2 < p < 6, nous allons montrer que u n − u L p (I R 3 ) −→
0. Pour un rayon R > 0 arbitraire, nous avons, grâce à l’inégalité (3.48) :
B c
R
|u n − u|
p−2
|u n − u|
2
≤
C
R p/2−1 n − u)
p−2
L 2 (I R 3 )
B c
R
|u n − u|
2
≤ C
te
1
R p/2−1
On peut donc choisir R assez grand pour avoir cette intégrale inférieure à ε/2
fixé à l’avance (noter que c’est là qu’on utilise p > 2). D’autre part, pour cette
valeur de R, on a convergence forte (quitte à extraire) de la suite (u n ) n∈I N vers
u pour la topologie de L
p sur la boule de rayon R à cause du Théorème de
Rellich-Kondrachov. On peut donc conclure à la convergence forte sur tout
l’espace. Ce que nous avons donc vu dans cette preuve c’était que l’inégalité
(3.48) permettait une majoration uniforme (en n) de la queue des intégrales,
et que nous étions alors ramenés au cas d’un borné.
Remarque 3.12 On notera le lien très fort entre le caractère compact d’une
suite de fonctions et la propriété de disposer d’une majoration uniforme des
3 Le même problème sur l’espace tout entier
Remarque 3.10 Bien noter que, par rapport au Théorème de Rellich-Kondrakov concernant le cas d’un domaine borné, on perd la compacité de l’injection dans le cas p = 2. Un contre-exemple standard est le suivant :
on fixe u ∈ C
∞
0 (IR
3 ) radiale telle que
I R 3
u
2 = 1, et on regarde la suite
(u n ) n∈I N ∗ définie par u n (x) =
1
n 3/2 u(
1
n
x). Alors il est facile de voir que l’on
a
I R 3
|∇u n |
2 =
C
te
n 2 et
I R 3
u
2
n = 1, d’où l’on déduit par l’inégalité d’interpolation que (u n ) n∈I N ∗ converge fortement vers la fonction nulle dans tous les
L
p (IR
3 ) pour 2 < p ≤ 6 mais certainement pas dans L
2 (IR
3 ).
Donnons une idée d’une preuve possible de ce résultat, que nous trouvons très
instructive sur la simplification amenée, quant aux questions de compacité,
par le fait de considérer des fonctions radiales. Nous avons en fait le lemme
suivant :
Lemme 3.11 Si u ∈ H
1
r (IR
3 ), alors u est presque partout égale à une fonction
continue qui vérifie, pour |x| ≥ 1, l’inégalité
|u(x)| ≤
C
|x| 1/2 L 2 (I R 3 ) ,
(3.48)
où la constante C ne dépend pas de u.
A l’aide de ce lemme, prouvons le Théorème 3.9. Prenons une suite bornée
(u n ) n∈I N dans H
1
r (IR
3 ). Quitte à extraire, nous supposons qu’elle converge
faiblement vers u. Soit 2 < p < 6, nous allons montrer que u n − u L p (I R 3 ) −→
0. Pour un rayon R > 0 arbitraire, nous avons, grâce à l’inégalité (3.48) :
B c
R
|u n − u|
p−2
|u n − u|
2
≤
C
R p/2−1 n − u)
p−2
L 2 (I R 3 )
B c
R
|u n − u|
2
≤ C
te
1
R p/2−1
On peut donc choisir R assez grand pour avoir cette intégrale inférieure à ε/2
fixé à l’avance (noter que c’est là qu’on utilise p > 2). D’autre part, pour cette
valeur de R, on a convergence forte (quitte à extraire) de la suite (u n ) n∈I N vers
u pour la topologie de L
p sur la boule de rayon R à cause du Théorème de
Rellich-Kondrachov. On peut donc conclure à la convergence forte sur tout
l’espace. Ce que nous avons donc vu dans cette preuve c’était que l’inégalité
(3.48) permettait une majoration uniforme (en n) de la queue des intégrales,
et que nous étions alors ramenés au cas d’un borné.
Remarque 3.12 On notera le lien très fort entre le caractère compact d’une
suite de fonctions et la propriété de disposer d’une majoration uniforme des