3.5 Le cas purement radial
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3.5 Le cas purement radial
Nous examinons dans cette section une variante du problème de TFW considéré jusque-là. Il s’agit de ce que nous appelons ici le problème purement
radial. Notre remarque de départ est la suivante : dans le cas où il n’y a qu’un
seul noyau, c’est-à-dire le cas atomique, on s’attend à avoir une fonction minimisante qui présente la symétrie radiale. C’est effectivement ce que nous avons
prouvé ci-dessus en utilisant des propriétés particulières du modèle de TFW.
Dans ces conditions, pourquoi n’avoir pas cherché dès le début un minimum
radial, au lieu de le chercher parmi les fonctions quelconques ?
Dans notre cas, nous avons déjà prouvé que le minimum était radial, et on
s’attend bien sûr à retomber sur le même minimum. Mais dans un cas moins
simple que TFW où on aurait échoué dans la tentative de prouver l’existence
d’un minimum sans prescrire de symétrie particulière, on peut se poser la
question de savoir ce qui se passe quand on se restreint au cadre radial. Est-ce
qu’une telle restriction facilite l’existence d’un minimum ? On peut en effet
l’espérer puisque plus l’espace sur lequel on minimise est petit (c’est-à-dire
“compact” au sens non mathématique du terme), plus on a de chances qu’il
existe un minimum. En général, la réponse est oui, mais il se trouve qu’ici la
situation reste quasiment aussi compliquée que dans le cas standard, parce que
nous considérons exactement le cas limite p = 2 (voir le Théorème 3.9 et la
Remarque 3.10 ci-dessous). Cependant, ce cas radial apporte quelques nuances
sur les techniques utilisées et il permet de mettre en valeur certains points du
raisonnement. Bien que de faible importance pratique, nous lui trouvons des
vertus pédagogiques.
On note H
1
r (IR
3 ) le sous-espace de H
1 (IR
3 ) formé des fonctions à symétrie
sphérique, et on définit le problème variationnel
I
r
λ = inf
E(u), u ∈ H
1
r (IR
3 ),
I R 3
|u|
2 = λ
,
(3.47)
pour la même énergie E(u) que d’habitude, à savoir (3.2).
Nous allons montrer que, pour tout λ ≤ Z, le problème (3.47) admet un
minimum, unique au signe près, et que (toujours au signe près) ce minimum
coïncide avec celui de (3.1).
D’une certaine manière, le cas radial est à rapprocher du cas borné du Chapitre 2. En effet, nous disposons dans ce cas du résultat suivant de compacité
(dû à Strauss) :
Théorème 3.9 L’injection de H
1
r (IR
3 ) dans L
p (IR
3 ) est compacte pour 2 <
p < 6.
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3.5 Le cas purement radial
Nous examinons dans cette section une variante du problème de TFW considéré jusque-là. Il s’agit de ce que nous appelons ici le problème purement
radial. Notre remarque de départ est la suivante : dans le cas où il n’y a qu’un
seul noyau, c’est-à-dire le cas atomique, on s’attend à avoir une fonction minimisante qui présente la symétrie radiale. C’est effectivement ce que nous avons
prouvé ci-dessus en utilisant des propriétés particulières du modèle de TFW.
Dans ces conditions, pourquoi n’avoir pas cherché dès le début un minimum
radial, au lieu de le chercher parmi les fonctions quelconques ?
Dans notre cas, nous avons déjà prouvé que le minimum était radial, et on
s’attend bien sûr à retomber sur le même minimum. Mais dans un cas moins
simple que TFW où on aurait échoué dans la tentative de prouver l’existence
d’un minimum sans prescrire de symétrie particulière, on peut se poser la
question de savoir ce qui se passe quand on se restreint au cadre radial. Est-ce
qu’une telle restriction facilite l’existence d’un minimum ? On peut en effet
l’espérer puisque plus l’espace sur lequel on minimise est petit (c’est-à-dire
“compact” au sens non mathématique du terme), plus on a de chances qu’il
existe un minimum. En général, la réponse est oui, mais il se trouve qu’ici la
situation reste quasiment aussi compliquée que dans le cas standard, parce que
nous considérons exactement le cas limite p = 2 (voir le Théorème 3.9 et la
Remarque 3.10 ci-dessous). Cependant, ce cas radial apporte quelques nuances
sur les techniques utilisées et il permet de mettre en valeur certains points du
raisonnement. Bien que de faible importance pratique, nous lui trouvons des
vertus pédagogiques.
On note H
1
r (IR
3 ) le sous-espace de H
1 (IR
3 ) formé des fonctions à symétrie
sphérique, et on définit le problème variationnel
I
r
λ = inf
E(u), u ∈ H
1
r (IR
3 ),
I R 3
|u|
2 = λ
,
(3.47)
pour la même énergie E(u) que d’habitude, à savoir (3.2).
Nous allons montrer que, pour tout λ ≤ Z, le problème (3.47) admet un
minimum, unique au signe près, et que (toujours au signe près) ce minimum
coïncide avec celui de (3.1).
D’une certaine manière, le cas radial est à rapprocher du cas borné du Chapitre 2. En effet, nous disposons dans ce cas du résultat suivant de compacité
(dû à Strauss) :
Théorème 3.9 L’injection de H
1
r (IR
3 ) dans L
p (IR
3 ) est compacte pour 2 <
p < 6.