80
3 Le même problème sur l’espace tout entier
implique en particulier que le minimum soit à symétrie radiale dans notre
cas. En fait, il est possible de montrer, comme dans l’Exercice 2.12, que pour
λ ≤ Z, le minimum est en fait radial décroissant. Mais revenons un instant à
une solution u ≥ 0 de (3.46). Nous avons vu ci-dessus qu’elle tendait vers 0 à
l’infini, mais en fait nous prétendons que, si elle est associée à un multiplicateur
θ strictement positif (ce qu’on sait être le cas au moins pour λ < Z), une telle
solution est à décroissance exponentielle. Plus précisément, si donc θ > 0,
alors pour tout paramètre 0 < µ < θ, il existe une constante M telle que,
u(x) ≤ M exp(−
√ µ|x|). Pour cela, nous remarquons que l’équation d’EulerLagrange peut s’écrire (−∆ + µ)u = (W + µ − θ)u où on sait déjà que u tend
vers 0 à l’infini. Nous avons donc u = E E(W +µ−θ)u où E désigne la solution
élémentaire sur IR
3 de l’opérateur −∆+µ, à savoir E(x) =
1
4π|x| exp(−
√ µ|x|).
Nous avons donc :
u(x) =
I R 3
E(x − y)(W (y) + µ − θ) u(y) dy.
Comme u tend vers 0 à l’infini, W aussi, et donc pour R assez grand nous
avons W (y) + µ − θ < 0 pour |y| ≥ R. Il en résulte, comme on sait u ≥ 0 que
u(x) ≤
|y|≤R
E(x − y)(W (y) + µ − θ)u(y) dy,
et il est alors simple de montrer que le second membre peut être majoré par
une expression de la forme M exp(−
√ µ|x|). Dans le cas où le multiplicateur θ
s’annule, on peut montrer, avec plus de difficultés, une estimation un peu différente, qui est encore un type de décroissance exponentielle, et nous renvoyons
le lecteur à l’Exercice 3.2.
Terminons cette section en faisant le point sur l’essentiel de ce que nous avons
prouvé. Il existe un minimum, unique au signe près, du problème I λ pour
λ ≤ Z. En passant par l’approche concentration-compacité (voir le détail au
Chapitre 4), on pourrait en fait montrer que toutes les suites minimisantes
convergent à extraction près sous la même hypothèse.
En fait, nous n’avons rien dit (sauf rapidement aux Remarques 3.6 et 3.7)
du cas λ > Z. Il se trouve, mais nous ne le montrerons pas ici, qu’il existe
une valeur critique finie, notée λ c , strictement supérieure à Z, telle que : pour
λ ≤ λ c , les suites minimisantes sont convergentes (à extraction près), et donc
il existe un minimum (unique au signe près) ; pour λ = λ c , le multiplicateur associé au minimum s’annule ; pour λ > λ c , les suites minimisantes ne
convergent plus au sens fort, il n’y a pas de minimum à I λ et le minimum
de ˜
I λ est le minimum de I λc . D’un point de vue physique, λ c représente le
“nombre” maximal d’électrons qu’un noyau de charge Z peut lier (voir Figure
3.2). Nous mettons nombre entre guillemets car rien ne nous dit que λ c soit
un entier. Les λ − λ c électrons perdus ont été, en langage physique, ionisés,
et, en langage mathématique, se sont échappés à l’infini.
3 Le même problème sur l’espace tout entier
implique en particulier que le minimum soit à symétrie radiale dans notre
cas. En fait, il est possible de montrer, comme dans l’Exercice 2.12, que pour
λ ≤ Z, le minimum est en fait radial décroissant. Mais revenons un instant à
une solution u ≥ 0 de (3.46). Nous avons vu ci-dessus qu’elle tendait vers 0 à
l’infini, mais en fait nous prétendons que, si elle est associée à un multiplicateur
θ strictement positif (ce qu’on sait être le cas au moins pour λ < Z), une telle
solution est à décroissance exponentielle. Plus précisément, si donc θ > 0,
alors pour tout paramètre 0 < µ < θ, il existe une constante M telle que,
u(x) ≤ M exp(−
√ µ|x|). Pour cela, nous remarquons que l’équation d’EulerLagrange peut s’écrire (−∆ + µ)u = (W + µ − θ)u où on sait déjà que u tend
vers 0 à l’infini. Nous avons donc u = E E(W +µ−θ)u où E désigne la solution
élémentaire sur IR
3 de l’opérateur −∆+µ, à savoir E(x) =
1
4π|x| exp(−
√ µ|x|).
Nous avons donc :
u(x) =
I R 3
E(x − y)(W (y) + µ − θ) u(y) dy.
Comme u tend vers 0 à l’infini, W aussi, et donc pour R assez grand nous
avons W (y) + µ − θ < 0 pour |y| ≥ R. Il en résulte, comme on sait u ≥ 0 que
u(x) ≤
|y|≤R
E(x − y)(W (y) + µ − θ)u(y) dy,
et il est alors simple de montrer que le second membre peut être majoré par
une expression de la forme M exp(−
√ µ|x|). Dans le cas où le multiplicateur θ
s’annule, on peut montrer, avec plus de difficultés, une estimation un peu différente, qui est encore un type de décroissance exponentielle, et nous renvoyons
le lecteur à l’Exercice 3.2.
Terminons cette section en faisant le point sur l’essentiel de ce que nous avons
prouvé. Il existe un minimum, unique au signe près, du problème I λ pour
λ ≤ Z. En passant par l’approche concentration-compacité (voir le détail au
Chapitre 4), on pourrait en fait montrer que toutes les suites minimisantes
convergent à extraction près sous la même hypothèse.
En fait, nous n’avons rien dit (sauf rapidement aux Remarques 3.6 et 3.7)
du cas λ > Z. Il se trouve, mais nous ne le montrerons pas ici, qu’il existe
une valeur critique finie, notée λ c , strictement supérieure à Z, telle que : pour
λ ≤ λ c , les suites minimisantes sont convergentes (à extraction près), et donc
il existe un minimum (unique au signe près) ; pour λ = λ c , le multiplicateur associé au minimum s’annule ; pour λ > λ c , les suites minimisantes ne
convergent plus au sens fort, il n’y a pas de minimum à I λ et le minimum
de ˜
I λ est le minimum de I λc . D’un point de vue physique, λ c représente le
“nombre” maximal d’électrons qu’un noyau de charge Z peut lier (voir Figure
3.2). Nous mettons nombre entre guillemets car rien ne nous dit que λ c soit
un entier. Les λ − λ c électrons perdus ont été, en langage physique, ionisés,
et, en langage mathématique, se sont échappés à l’infini.