3.4 Qualités du minimum de TFW
79
l=0
l=Z
l=l c
Ions positifs
Molécule neutre
Non existence
Ions négatifs
Fig. 3.2. Dans le modèle TFW, les ions positifs existent. De même la molécule
neutre, et des ions un peu négatifs. Mais, au-delà d’une valeur critique λc, il n’y a
plus de minimiseur, donc d’état fondamental. Ceci est conforme à ce qu’on attend
physiquement : personne n’a jamais vu d’ions O
200− .
Soit u ∈ H
1 (IR
3 ) une solution (non nécessairement signée) de (3.46). Montrons
d’abord que u ∈ H
2 (IR
3 ). Pour cela nous remarquons que
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu ∈ L
2 (IR
3 ).
Le seul terme pour lequel il n’est pas évident qu’il appartienne à L
2 (IR
3 ) est
le terme (u
2
1
|x| )u. On note par exemple qu’il suffit de prouver que u
2
1
|x| ∈
L
4 (IR
3 ), ce qu’on montre en utilisant l’inégalité de Young avec par exemple
1
|x| ∈ L
5/2 + L
7/2 et u
2
∈ L
20/17
∩ L
28/27 (ne pas être affolé par les exposants,
on peut faire pire). En utilisant (3.46), on en déduit ∆u ∈ L
2 (IR
3 ). Pour une
fonction u ∈ L
2 (IR
3 ), cela entraîne u ∈ H
2 (IR
3 ) (noter que c’est l’analogue
du résultat de régularité elliptique sur un borné au chapitre 2). En effet, si
ˆ
u désigne la transformée de Fourier de u, nous avons ˆ
u ∈ L
2 (IR
3 ) et |ζ|
2 ˆ
u ∈
L
2 (IR
3 )donc (1 + |ζ|
2 )
2
|ˆ u|
2
∈ L
1 (IR
3 ) ce qui équivaut à u ∈ H
2 (IR
3 ).
Une conséquence directe du fait que u ∈ H
2 (IR
3 ) est que u tend vers 0 à
l’infini. En effet, on a par l’inégalité de Cauchy-Schwartz,
I R 3
|ˆ u|dζ ≤
I R 3
1
(1 + |ζ| 2 ) 2 dζ
1/2
I R 3
|(1 + |ζ|
2 )
2
|ˆ u|
2 dζ
1/2
et donc ˆ
u ∈ L
1 (IR
3 ), ce qui montre que u tend vers 0 à l’infini.
Une autre conséquence est qu’en utilisant le Théorème 2.29, nous en déduisons
u ∈ L
∞ (IR
3 ) et u ∈ C
0,1/2 (IR
3 ). En utilisant la régularité elliptique sur toute
boule arbitraire (la restriction de u au bord de la boule est une fonction bornée
car u est continue et L
∞ (IR
3 )), on obtient comme au Chapitre 2 que u est
localement C
0,α pour tout α < 1 et de classe C
∞ en dehors de l’origine.
Supposons maintenant que notre solution u ∈ H
1 (IR
3 ) est positive ou nulle.
D’après la régularité qui précède et l’inégalité de Harnack, on peut montrer,
et c’est même plus simple techniquement que dans le cas borné, que u > 0 ou
u ≡ 0. Si l’on est en train de traiter du minimum de la fonctionnelle d’énergie,
ce dernier cas est exclus et on a donc u > 0. Par le même raisonnement
qu’au Chapitre 2, on en déduit donc l’unicité du minimum au signe près. Cela
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l=0
l=Z
l=l c
Ions positifs
Molécule neutre
Non existence
Ions négatifs
Fig. 3.2. Dans le modèle TFW, les ions positifs existent. De même la molécule
neutre, et des ions un peu négatifs. Mais, au-delà d’une valeur critique λc, il n’y a
plus de minimiseur, donc d’état fondamental. Ceci est conforme à ce qu’on attend
physiquement : personne n’a jamais vu d’ions O
200− .
Soit u ∈ H
1 (IR
3 ) une solution (non nécessairement signée) de (3.46). Montrons
d’abord que u ∈ H
2 (IR
3 ). Pour cela nous remarquons que
−Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu ∈ L
2 (IR
3 ).
Le seul terme pour lequel il n’est pas évident qu’il appartienne à L
2 (IR
3 ) est
le terme (u
2
1
|x| )u. On note par exemple qu’il suffit de prouver que u
2
1
|x| ∈
L
4 (IR
3 ), ce qu’on montre en utilisant l’inégalité de Young avec par exemple
1
|x| ∈ L
5/2 + L
7/2 et u
2
∈ L
20/17
∩ L
28/27 (ne pas être affolé par les exposants,
on peut faire pire). En utilisant (3.46), on en déduit ∆u ∈ L
2 (IR
3 ). Pour une
fonction u ∈ L
2 (IR
3 ), cela entraîne u ∈ H
2 (IR
3 ) (noter que c’est l’analogue
du résultat de régularité elliptique sur un borné au chapitre 2). En effet, si
ˆ
u désigne la transformée de Fourier de u, nous avons ˆ
u ∈ L
2 (IR
3 ) et |ζ|
2 ˆ
u ∈
L
2 (IR
3 )donc (1 + |ζ|
2 )
2
|ˆ u|
2
∈ L
1 (IR
3 ) ce qui équivaut à u ∈ H
2 (IR
3 ).
Une conséquence directe du fait que u ∈ H
2 (IR
3 ) est que u tend vers 0 à
l’infini. En effet, on a par l’inégalité de Cauchy-Schwartz,
I R 3
|ˆ u|dζ ≤
I R 3
1
(1 + |ζ| 2 ) 2 dζ
1/2
I R 3
|(1 + |ζ|
2 )
2
|ˆ u|
2 dζ
1/2
et donc ˆ
u ∈ L
1 (IR
3 ), ce qui montre que u tend vers 0 à l’infini.
Une autre conséquence est qu’en utilisant le Théorème 2.29, nous en déduisons
u ∈ L
∞ (IR
3 ) et u ∈ C
0,1/2 (IR
3 ). En utilisant la régularité elliptique sur toute
boule arbitraire (la restriction de u au bord de la boule est une fonction bornée
car u est continue et L
∞ (IR
3 )), on obtient comme au Chapitre 2 que u est
localement C
0,α pour tout α < 1 et de classe C
∞ en dehors de l’origine.
Supposons maintenant que notre solution u ∈ H
1 (IR
3 ) est positive ou nulle.
D’après la régularité qui précède et l’inégalité de Harnack, on peut montrer,
et c’est même plus simple techniquement que dans le cas borné, que u > 0 ou
u ≡ 0. Si l’on est en train de traiter du minimum de la fonctionnelle d’énergie,
ce dernier cas est exclus et on a donc u > 0. Par le même raisonnement
qu’au Chapitre 2, on en déduit donc l’unicité du minimum au signe près. Cela