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3 Le même problème sur l’espace tout entier
dans la section suivante que ce minimum est unique. Comme une suite qui
n’a qu’une seule valeur d’adhérence converge tout entière vers cette valeur
d’adhérence unique, qui est donc sa limite, ce que nous aurons montré à ce
stade, c’est : toute suite minimisante positive ou nulle converge (sans avoir à
extraire) vers le minimum positif. De même, toute suite minimisante négative
ou nulle converge (sans avoir à extraire) vers le minimum négatif. En revanche,
nous ne savons rien sur le comportement d’une suite minimisante arbitraire ;
on ne sait même pas qu’on peut en extraire une sous-suite qui converge. Or
la convergence de toutes les suites minimisantes peut être une propriété très
utile, d’un point de vue physique pour des questions de stabilité, et aussi
d’un point de vue numérique pour faire la preuve de la convergence d’un algorithme de recherche du minimum. En fait, l’approche concentration-compacité
va nous être utile sur ce point.
Une stratégie, qui est utile dans certains cas, est la suivante : on choisit une
bonne suite minimisante dont on montre qu’elle converge (on a tout à fait le
droit de particulariser suffisamment cette suite pour obtenir des informations
supplémentaires dessus), et que cette convergence implique l’inégalité de sousadditivité stricte ; on prouve alors dans un second temps que l’inégalité de
sous-additivité stricte implique la convergence à extraction près de toutes les
suites minimisantes.
Il faut enfin noter que sans faire appel à l’approche concentration-compacité,
mais en utilisant la condition du second ordre et le Théorème 4.7 du Chapitre
4 à venir, on obtiendrait la convergence à extraction près de toutes les suites
minimisantes.
3.4 Qualités du minimum de TFW
Soit u un minimum du problème (3.1). Il est solution de l’équation d’EulerLagrange associée, à savoir
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu = 0,
(3.46)
au sens des distributions (au moins) sur IR
3 , pour un certain réel θ ≥ 0. On
sait (voir Remarque 3.5) que, si l’on a supposé u ≥ 0 et
I R 3
u
2
≤ Z alors
θ > 0. En fait, cette stricte positivité du multiplicateur θ pour le cas neutre
λ = Z permet de montrer qu’il existe un minimiseur un peu au delà de Z,
c’est-à-dire permet de montrer l’existence de certains ions négatifs dans ce
modèle. La propriété θ > 0 est de même vraie un peu au delà de λ = Z,
pour des λ un peu supérieurs à Z (se reporter à la fin de cette section, et à la
littérature fournie en fin de chapitre). On consultera la Figure 3.2 pour voir la
situation. Pour l’instant, nous souhaitons nous intéresser aux propriétés d’une
solution de (3.46).
3 Le même problème sur l’espace tout entier
dans la section suivante que ce minimum est unique. Comme une suite qui
n’a qu’une seule valeur d’adhérence converge tout entière vers cette valeur
d’adhérence unique, qui est donc sa limite, ce que nous aurons montré à ce
stade, c’est : toute suite minimisante positive ou nulle converge (sans avoir à
extraire) vers le minimum positif. De même, toute suite minimisante négative
ou nulle converge (sans avoir à extraire) vers le minimum négatif. En revanche,
nous ne savons rien sur le comportement d’une suite minimisante arbitraire ;
on ne sait même pas qu’on peut en extraire une sous-suite qui converge. Or
la convergence de toutes les suites minimisantes peut être une propriété très
utile, d’un point de vue physique pour des questions de stabilité, et aussi
d’un point de vue numérique pour faire la preuve de la convergence d’un algorithme de recherche du minimum. En fait, l’approche concentration-compacité
va nous être utile sur ce point.
Une stratégie, qui est utile dans certains cas, est la suivante : on choisit une
bonne suite minimisante dont on montre qu’elle converge (on a tout à fait le
droit de particulariser suffisamment cette suite pour obtenir des informations
supplémentaires dessus), et que cette convergence implique l’inégalité de sousadditivité stricte ; on prouve alors dans un second temps que l’inégalité de
sous-additivité stricte implique la convergence à extraction près de toutes les
suites minimisantes.
Il faut enfin noter que sans faire appel à l’approche concentration-compacité,
mais en utilisant la condition du second ordre et le Théorème 4.7 du Chapitre
4 à venir, on obtiendrait la convergence à extraction près de toutes les suites
minimisantes.
3.4 Qualités du minimum de TFW
Soit u un minimum du problème (3.1). Il est solution de l’équation d’EulerLagrange associée, à savoir
−∆u − Z
1
|x|
u +
5
3
|u|
4/3 u +
I R 3
u
2 (y)
|x − y|
dy
u + θu = 0,
(3.46)
au sens des distributions (au moins) sur IR
3 , pour un certain réel θ ≥ 0. On
sait (voir Remarque 3.5) que, si l’on a supposé u ≥ 0 et
I R 3
u
2
≤ Z alors
θ > 0. En fait, cette stricte positivité du multiplicateur θ pour le cas neutre
λ = Z permet de montrer qu’il existe un minimiseur un peu au delà de Z,
c’est-à-dire permet de montrer l’existence de certains ions négatifs dans ce
modèle. La propriété θ > 0 est de même vraie un peu au delà de λ = Z,
pour des λ un peu supérieurs à Z (se reporter à la fin de cette section, et à la
littérature fournie en fin de chapitre). On consultera la Figure 3.2 pour voir la
situation. Pour l’instant, nous souhaitons nous intéresser aux propriétés d’une
solution de (3.46).