3.3 Premier contact avec la concentration-compacité
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où θ λ désigne le multiplicateur de Lagrange associé au minimum u λ de ˜
I λ .
En effet, écrivons, comme ˜
I λ admet pour minimum u λ , que ˜
I λ = E(u λ ), et
dérivons cette égalité par rapport à λ sans nous poser de questions sur la
rigueur du calcul :
d
dλ
˜
I λ = E
(u λ ) ·
du λ
dλ
= −θ λ
I R 3
u λ
du λ
dλ
= −θ λ ,
(3.45)
car pour tout λ,
I R 3
u
2
λ = λ. On lit sur la formule (3.44) que θ λ est positif ou
nul puisque ˜
I λ est décroissant, mais (3.44) a surtout la conséquence suivante :
si θ λ > 0, alors la fonction ˜
I λ est strictement décroissante localement par
rapport à λ. Comme on sait ˜
I λ = I λ , cela veut donc dire que la fonction
α → I α est décroissante strictement pour α proche de λ. En d’autres termes,
quand nous avons prouvé que pour λ ≤ Z le multiplicateur était strictement
positif, nous avons montré la sous-additivité stricte dans l’intervalle [0, Z]. En
fait, la sous-additivité stricte est vraie aussi un peu au-delà de Z, et la raison
pour cela est que le multiplicateur est strictement positif même en λ = Z. Ce
raisonnement sera généralisé au chapitre 4 à un cas où le problème à l’infini
n’est pas nul. Nous verrons que techniquement les choses sont plus dures, mais
que l’esprit de la preuve reste le même.
Nous avons annoncé ci-dessus qu’un des intérêts de l’approche concentrationcompacité était qu’elle formalisait un raisonnement usuel en physique. De quel
raisonnement s’agit-il ? Voyons-le maintenant.
Pour étudier la stabilité d’un système en physique, on fait couramment le
raisonnement suivant : le système se mettra naturellement dans une configuration qui minimise son énergie. Donc si l’on peut réaliser une partition
du système initial, noté S, en deux sous-systèmes A et B tels que la somme
des énergies des sous-systèmes A et B pris séparément soit égale à l’énergie
du système global A + B = S, alors le système S ne pourra pas être stable,
il y aura une chance qu’il se décompose. En revanche, si quelle que soit la
partition A + B de S, la somme des énergies des sous-systèmes A et B pris
séparément est strictement supérieure à l’énergie du système global A+B = S,
alors le système S n’aura pas “intérêt” à se décomposer. Il faut lui fournir
de l’énergie si on veut qu’il le fasse, et donc le système est stable. Puisque
l’état des deux sous-systèmes pris séparément est en fait l’état où l’un des
sous-systèmes est pris infiniment loin de l’autre, ce que nous venons de dire,
c’est : si E(A + B) < E(A) + E
∞ (B) alors le système A + B est stable. C’est
la sous-additivité stricte. On voit donc le lien intime de cette approche avec
la physique.
Pour conclure cette section, faisons une remarque qui peut avoir son importance dans certains cas. Le raisonnement que nous avons fait aux sections
précédentes a consisté à prendre une suite minimisante arbitraire, et à montrer que, quitte à la changer en sa valeur absolue, et à extraire une soussuite, elle convergeait vers un minimum. Au signe près, nous allons montrer
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où θ λ désigne le multiplicateur de Lagrange associé au minimum u λ de ˜
I λ .
En effet, écrivons, comme ˜
I λ admet pour minimum u λ , que ˜
I λ = E(u λ ), et
dérivons cette égalité par rapport à λ sans nous poser de questions sur la
rigueur du calcul :
d
dλ
˜
I λ = E
(u λ ) ·
du λ
dλ
= −θ λ
I R 3
u λ
du λ
dλ
= −θ λ ,
(3.45)
car pour tout λ,
I R 3
u
2
λ = λ. On lit sur la formule (3.44) que θ λ est positif ou
nul puisque ˜
I λ est décroissant, mais (3.44) a surtout la conséquence suivante :
si θ λ > 0, alors la fonction ˜
I λ est strictement décroissante localement par
rapport à λ. Comme on sait ˜
I λ = I λ , cela veut donc dire que la fonction
α → I α est décroissante strictement pour α proche de λ. En d’autres termes,
quand nous avons prouvé que pour λ ≤ Z le multiplicateur était strictement
positif, nous avons montré la sous-additivité stricte dans l’intervalle [0, Z]. En
fait, la sous-additivité stricte est vraie aussi un peu au-delà de Z, et la raison
pour cela est que le multiplicateur est strictement positif même en λ = Z. Ce
raisonnement sera généralisé au chapitre 4 à un cas où le problème à l’infini
n’est pas nul. Nous verrons que techniquement les choses sont plus dures, mais
que l’esprit de la preuve reste le même.
Nous avons annoncé ci-dessus qu’un des intérêts de l’approche concentrationcompacité était qu’elle formalisait un raisonnement usuel en physique. De quel
raisonnement s’agit-il ? Voyons-le maintenant.
Pour étudier la stabilité d’un système en physique, on fait couramment le
raisonnement suivant : le système se mettra naturellement dans une configuration qui minimise son énergie. Donc si l’on peut réaliser une partition
du système initial, noté S, en deux sous-systèmes A et B tels que la somme
des énergies des sous-systèmes A et B pris séparément soit égale à l’énergie
du système global A + B = S, alors le système S ne pourra pas être stable,
il y aura une chance qu’il se décompose. En revanche, si quelle que soit la
partition A + B de S, la somme des énergies des sous-systèmes A et B pris
séparément est strictement supérieure à l’énergie du système global A+B = S,
alors le système S n’aura pas “intérêt” à se décomposer. Il faut lui fournir
de l’énergie si on veut qu’il le fasse, et donc le système est stable. Puisque
l’état des deux sous-systèmes pris séparément est en fait l’état où l’un des
sous-systèmes est pris infiniment loin de l’autre, ce que nous venons de dire,
c’est : si E(A + B) < E(A) + E
∞ (B) alors le système A + B est stable. C’est
la sous-additivité stricte. On voit donc le lien intime de cette approche avec
la physique.
Pour conclure cette section, faisons une remarque qui peut avoir son importance dans certains cas. Le raisonnement que nous avons fait aux sections
précédentes a consisté à prendre une suite minimisante arbitraire, et à montrer que, quitte à la changer en sa valeur absolue, et à extraire une soussuite, elle convergeait vers un minimum. Au signe près, nous allons montrer