76
3 Le même problème sur l’espace tout entier
I
∞
λ = inf
E
∞ (u), u ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
|u|
2 = λ
.
(3.40)
Remarque 3.8 Nous ne prétendons pas que la définition que nous venons de
donner du problème à l’infini est la plus générale qui soit, en particulier parce
qu’on ne peut pas toujours définir la fonctionnelle d’énergie à l’infini aussi
simplement que dans le cas TFW ci-dessus. Que veut en effet dire “à l’infini”
quand il y a beaucoup de façons d’aller à l’infini ? Ici, il se trouve que toutes
les façons sont équivalentes.
Regardons comment nous avons fait pour prouver (3.20). Nous avons translaté
de la masse à l’infini, et en fait ce que nous avons prouvé à l’aide de notre
fonction test w, c’est en particulier que, pour le modèle de TFW, le problème
à l’infini est nul :
I
∞
λ−α = 0.
(3.41)
En effet, nous avons montré en choisissant bien w que I
∞
· ≤ 0 alors qu’il est
clair sur (3.39) que I
∞
· ≥ 0. Ensuite, prouver (3.20) était donc équivalent à
prouver (3.38).
A ce point du raisonnement, nous ne savions pas encore que la contrainte
était saturée, ou autrement dit que (3.1) admettait un minimum. Imaginons
un instant que nous ayons disposé de l’assertion
λ > α ≥ 0 =⇒ I λ < I α .
(3.42)
Nous aurions alors pu conclure : en effet, si la masse du minimum de ˜
I λ vaut
I R 3
u
2 < λ, alors en posant α =
I R 3
u
2 , nous avons une contradiction dans
l’inégalité ci-dessus. C’est donc que
I R 3
u
2 = λ et le raisonnement est fini.
En fait, encore une fois, (3.42) est un cas particulier de l’inégalité de sousadditivité stricte
λ > α ≥ 0 =⇒ I λ < I α + I
∞
λ−α .
(3.43)
Pour prouver que l’on n’avait pas
I R 3
u
2 < λ ≤ Z, nous avons en fait prouvé
un peu mieux : nous avons montré (avec (3.34)) que le multiplicateur dans
(3.27) ne pouvait pas s’annuler pour
I R 3
u
2
≤ λ ≤ Z. Comme nous allons le
voir au moins formellement, ce que nous avons prouvé, c’est en fait (3.42).
Commençons par l’affirmation suivante. Formellement (et cela peut en fait
être rendu rigoureux), on a
d
dλ
˜
I λ = −θ λ ,
(3.44)
3 Le même problème sur l’espace tout entier
I
∞
λ = inf
E
∞ (u), u ∈ H
1 (IR
3 ),
I R 3
|u|
2 = λ
.
(3.40)
Remarque 3.8 Nous ne prétendons pas que la définition que nous venons de
donner du problème à l’infini est la plus générale qui soit, en particulier parce
qu’on ne peut pas toujours définir la fonctionnelle d’énergie à l’infini aussi
simplement que dans le cas TFW ci-dessus. Que veut en effet dire “à l’infini”
quand il y a beaucoup de façons d’aller à l’infini ? Ici, il se trouve que toutes
les façons sont équivalentes.
Regardons comment nous avons fait pour prouver (3.20). Nous avons translaté
de la masse à l’infini, et en fait ce que nous avons prouvé à l’aide de notre
fonction test w, c’est en particulier que, pour le modèle de TFW, le problème
à l’infini est nul :
I
∞
λ−α = 0.
(3.41)
En effet, nous avons montré en choisissant bien w que I
∞
· ≤ 0 alors qu’il est
clair sur (3.39) que I
∞
· ≥ 0. Ensuite, prouver (3.20) était donc équivalent à
prouver (3.38).
A ce point du raisonnement, nous ne savions pas encore que la contrainte
était saturée, ou autrement dit que (3.1) admettait un minimum. Imaginons
un instant que nous ayons disposé de l’assertion
λ > α ≥ 0 =⇒ I λ < I α .
(3.42)
Nous aurions alors pu conclure : en effet, si la masse du minimum de ˜
I λ vaut
I R 3
u
2 < λ, alors en posant α =
I R 3
u
2 , nous avons une contradiction dans
l’inégalité ci-dessus. C’est donc que
I R 3
u
2 = λ et le raisonnement est fini.
En fait, encore une fois, (3.42) est un cas particulier de l’inégalité de sousadditivité stricte
λ > α ≥ 0 =⇒ I λ < I α + I
∞
λ−α .
(3.43)
Pour prouver que l’on n’avait pas
I R 3
u
2 < λ ≤ Z, nous avons en fait prouvé
un peu mieux : nous avons montré (avec (3.34)) que le multiplicateur dans
(3.27) ne pouvait pas s’annuler pour
I R 3
u
2
≤ λ ≤ Z. Comme nous allons le
voir au moins formellement, ce que nous avons prouvé, c’est en fait (3.42).
Commençons par l’affirmation suivante. Formellement (et cela peut en fait
être rendu rigoureux), on a
d
dλ
˜
I λ = −θ λ ,
(3.44)