3.3 Premier contact avec la concentration-compacité
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3.3 Premier contact avec la concentration-compacité
La méthode dite de concentration-compacité a été introduite au début des
années 80 par P-L. Lions. Nous l’utiliserons explicitement au Chapitre 4, mais
il nous paraît utile d’y faire déjà référence dans le cadre assez simple de ce
troisième chapitre.
Cette méthode est une méthode de portée très générale, qui permet notamment d’analyser en détail les pertes de compacité possibles pour des suites
minimisantes de problèmes variationnels. Ici, compte tenu de notre cadre de
travail, nous nous restreignons au volet de cette méthode lié à l’étude des
problèmes localement compacts, au sens où nous avons défini cette notion au
chapitre 2. Mais il faut savoir qu’il existe un autre volet de cette méthode
qui a trait à certaines pertes de compacité sur les bornés (en liaison avec le
quatrième commentaire sur le Théorème 2.24 du Chapitre 2).
Ce qui rend cette méthode particulièrement attractive pour l’étude des problèmes de chimie quantique, c’est, outre bien sûr le fait qu’elle autorise
à conclure dans des cas difficiles restés jusqu’alors non résolus, que cette
méthode permet une approche systématique des problèmes de minimisation
très intimement liée avec l’intuition physique. Elle formalise rigoureusement
un type de raisonnement usuel en Physique. Notre but ici est de regarder le
travail que nous venons d’effectuer aux sections précédentes à travers le prisme
de l’approche concentration-compacité.
Une étape importante du raisonnement ci-dessus a consisté à montrer l’assertion (3.20), à savoir
λ ≥ α ≥ 0 =⇒ I λ ≤ I α .
Dans le langage de la concentration-compacité, cette inégalité est l’application
au cas particulier du modèle de TFW d’une inégalité générale, dite inégalité
de sous-additivité :
λ ≥ α ≥ 0 =⇒ I λ ≤ I α + I
∞
λ−α .
(3.38)
Dans cette inégalité, nous définissons le dernier terme comme suit. On note
E
∞ (v) et on appelle fonctionnelle d’énergie à l’infini, la fonctionnelle obtenue
à partir de la fonctionnelle d’énergie E(v) en translatant la fonction test v à
l’infini. Autrement dit, on obtient ainsi l’énergie invariante par translation
contenue dans la fonctionnelle initiale. Dans notre cas, la fonctionnelle E
∞
s’obtient à partir de E en supprimant le terme d’attraction du noyau :
E
∞ (u) =
I R 3
|∇u|
2 +
I R 3
|u|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy,
(3.39)
et correspond ici à l’énergie qu’aurait une densité d’électrons placée infiniment
loin du noyau. Le problème à l’infini est alors défini par
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3.3 Premier contact avec la concentration-compacité
La méthode dite de concentration-compacité a été introduite au début des
années 80 par P-L. Lions. Nous l’utiliserons explicitement au Chapitre 4, mais
il nous paraît utile d’y faire déjà référence dans le cadre assez simple de ce
troisième chapitre.
Cette méthode est une méthode de portée très générale, qui permet notamment d’analyser en détail les pertes de compacité possibles pour des suites
minimisantes de problèmes variationnels. Ici, compte tenu de notre cadre de
travail, nous nous restreignons au volet de cette méthode lié à l’étude des
problèmes localement compacts, au sens où nous avons défini cette notion au
chapitre 2. Mais il faut savoir qu’il existe un autre volet de cette méthode
qui a trait à certaines pertes de compacité sur les bornés (en liaison avec le
quatrième commentaire sur le Théorème 2.24 du Chapitre 2).
Ce qui rend cette méthode particulièrement attractive pour l’étude des problèmes de chimie quantique, c’est, outre bien sûr le fait qu’elle autorise
à conclure dans des cas difficiles restés jusqu’alors non résolus, que cette
méthode permet une approche systématique des problèmes de minimisation
très intimement liée avec l’intuition physique. Elle formalise rigoureusement
un type de raisonnement usuel en Physique. Notre but ici est de regarder le
travail que nous venons d’effectuer aux sections précédentes à travers le prisme
de l’approche concentration-compacité.
Une étape importante du raisonnement ci-dessus a consisté à montrer l’assertion (3.20), à savoir
λ ≥ α ≥ 0 =⇒ I λ ≤ I α .
Dans le langage de la concentration-compacité, cette inégalité est l’application
au cas particulier du modèle de TFW d’une inégalité générale, dite inégalité
de sous-additivité :
λ ≥ α ≥ 0 =⇒ I λ ≤ I α + I
∞
λ−α .
(3.38)
Dans cette inégalité, nous définissons le dernier terme comme suit. On note
E
∞ (v) et on appelle fonctionnelle d’énergie à l’infini, la fonctionnelle obtenue
à partir de la fonctionnelle d’énergie E(v) en translatant la fonction test v à
l’infini. Autrement dit, on obtient ainsi l’énergie invariante par translation
contenue dans la fonctionnelle initiale. Dans notre cas, la fonctionnelle E
∞
s’obtient à partir de E en supprimant le terme d’attraction du noyau :
E
∞ (u) =
I R 3
|∇u|
2 +
I R 3
|u|
10/3 +
1
2
I R 3 ×I R 3
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy,
(3.39)
et correspond ici à l’énergie qu’aurait une densité d’électrons placée infiniment
loin du noyau. Le problème à l’infini est alors défini par